Osilasi Sudut Cincin yang Digantung pada Paku Tanpa Slip

Sebuah cincin bermassa $M$ dengan jari-jari $R$ (tebal cincin jauh lebih kecil dibandingkan dengan $R$) digantung pada sebuah paku berjari-jari $r$ (pusat paku di titik $O$). Momen inersia cincin terhadap pusat massanya adalah $M$$R_{2}$. Anggap ada gesekan yang besar antara paku dan cincin sehingga cincin tidak bisa slip. Tinjau hanya osilasi dengan amplitudo sudut kecil. (a) Jika ukuran paku diabaikan ($r$ $\rightarrow$ 0), tentukan periode osilasi sistem! (b) Jika ukuran paku tidak diabaikan (jari-jari paku adalah $r$): (i) Carilah hubungan sudut simpangan pusat massa cincin ($\theta$) dengan simpangan sudut cincin ($\chi$).(Pada saat simpangan sudut $\theta$ = 0, titik $A$pada cincin menyentuh paku. Saat pusat cincin menyimpang sejauh $\theta$, titik $A$ berpindah ke posisi $A'$ . Cincin mengalami simpangan sudut $\chi$ yang ditunjukkan oleh posisi sudut dari titik $A'$ . Ingat bahwa semua sudut didefinisikan relatif terhadap sebuah sumbu yang tetap, misalnya sumbu vertikal $A$$P$ seperti terlihat dalam gambar.) (ii) Carilah periode osilasi cincin! (iii) Tunjukkan bahwa untuk limit jari-jari $r$ $\rightarrow$ 0, hasilnya sama dengan yang diperoleh pada pertanyaan (a)! (c) Sekarang paku dengan jari-jari $r$ diganti dengan sebuah cincin lain yang berjari-jari $r$ (dengan $r$ < $R$) dan memiliki massa $m$ (momen inersia cincin kecil terhadap pusat massanya adalah $m$$r_{2}$ ). Cincin kecil ini dibuat bebas berputar terhadap titik pusatnya (titik $O$), tetapi titik pusat tersebut selalu dijaga tetap diam. Anggap ada gaya gesek yang besar antara kedua cincin sehingga keduanya tidak bisa slip (tergelincir). (i) Carilah hubungan simpangan sudut cincin besar $\chi$, simpangan sudut cincin kecil $\beta$, dan simpangan pusat massa cincin besar $\theta$. (Petunjuk: gunakan hasil dari pertanyaan (b). Anda hanya butuh menambahkan satu suku yang merupakan efek perputaran cincin kecil.) (ii) Carilah periode osilasi cincin! (iii) Tunjukkan bahwa untuk limit massa $m$ sangat besar, hasilnya menjadi sama dengan hasil pertanyaan (b).  a. Jika ukuran paku diabaikan ($r$ $\rightarrow$ 0), tentukan periode osilasi sistem! b. Jika ukuran paku tidak diabaikan (jari-jari paku adalah $r$): i. Carilah hubungan sudut simpangan pusat massa cincin ($\theta$) dengan simpangan sudut cincin ($\chi$).(Pada saat simpangan sudut $\theta$ = 0, titik $A$pada cincin menyentuh paku. Saat pusat cincin menyimpang sejauh $\theta$, titik $A$ berpindah ke posisi $A'$ . Cincin mengalami simpangan sudut $\chi$ yang ditunjukkan oleh posisi sudut dari titik $A'$ . Ingat bahwa semua sudut didefinisikan relatif terhadap sebuah sumbu yang tetap, misalnya sumbu vertikal $A$$P$ seperti terlihat dalam gambar.) (ii) Carilah periode osilasi cincin! (iii) Tunjukkan bahwa untuk limit jari-jari $r$ $\rightarrow$ 0, hasilnya sama dengan yang diperoleh pada pertanyaan (a)! c. Sekarang paku dengan jari-jari $r$ diganti dengan sebuah cincin lain yang berjari-jari $r$ (dengan $r$ < $R$) dan memiliki massa $m$ (momen inersia cincin kecil terhadap pusat massanya adalah $m$$r_{2}$ ). Cincin kecil ini dibuat bebas berputar terhadap titik pusatnya (titik $O$), tetapi titik pusat tersebut selalu dijaga tetap diam. Anggap ada gaya gesek yang besar antara kedua cincin sehingga keduanya tidak bisa slip (tergelincir). i. Carilah hubungan simpangan sudut cincin besar $\chi$, simpangan sudut cincin kecil $\beta$, dan simpangan pusat massa cincin besar $\theta$. (Petunjuk: gunakan hasil dari pertanyaan (b). Anda hanya butuh menambahkan satu suku yang merupakan efek perputaran cincin kecil.) (ii) Carilah periode osilasi cincin! (iii) Tunjukkan bahwa untuk limit massa $m$ sangat besar, hasilnya menjadi sama dengan hasil pertanyaan (b).