Gerak Planet Di Ruang Angkasa Berdebu

Sebuah planet yang massa m mengorbit Matahari yang bermassa $M$. Terdapat awan debu yang tersebar merata pada di luar angkasa dengan kerapatan $\rho$ termasuk diantara planet tersebut dan matahari. Diketahui bahwa konstanta gravitasi umum adalah $G$ serta pengaruh gesekan dan tumbukan antara partikel debu dan planet dapat diabaikan. (a) Tunjukkan bahwa awan debu memberikan penambahan gaya gravitasi planet terhadap Matahari yang sebanding dengan jarak planet dan Matahari $r$ dalam bentuk $F'$ = $k$$m$$r$. Tentukan nilai konstanta $k$. (b) Tinjau kasus dimana planet bergerak dengan momentum sudut yang konstan sebesar L. L juga merupakan nilai momentum sudut jika planet bergerak melingkar dengan jari-jari ro. Tentukan persamaan gerak planet dalam arah radial yang menghubungkan $r_{0}$ , $L$, $G$, $M$, $m$, dan $k$. (c) Tentukan periode revolusi planet mengelilingi Matahari jika diasumsikan orbit planet adalah lingkaran. Nyatakan jawaban dalam $L$, $m$, dan $r_{0}$ . (d) Pada suatu ketika planet mengalami sedikit simpangan kecil pada arah radial sehingga orbitnya terganggu. Tunjukkan bahwa planet mengalami gerak osilasi harmonik sederhana pada arah radial. (e) Asumsikan nilai F′ cukup kecil jika dibandingkan dengan gaya tarik Matahari. Tunjukkan bahwa orbit planet membentuk “precessing ellipse”. Petunjuk: gerak precessing ellipse adalah gerakan dengan bentuk dasar elips, namun sumbu elips tersebut juga ikut berputar (lihat gambar di bawah). Anda tidak perlu menggunakan persamaan elips untuk mengerjakan soal ini. (f) Tunjukkan waktu yang dibutuhkan planet untuk kembali ke titik semula (titik sebelum mengalami simpangan) untuk pertama kalinya. Nyatakan jawaban dalam $L$, $m$, $k$, dan $r_{0}$ , $g$. (g) Apakah arah putar dari sumbu elips sama gerakan precessing ellipse searah atau berlawanan arah kecepatan sudut planet? Jelaskan.  a. Tunjukkan bahwa awan debu memberikan penambahan gaya gravitasi planet terhadap Matahari yang sebanding dengan jarak planet dan Matahari $r$ dalam bentuk $F'$ = $k$$m$$r$. Tentukan nilai konstanta $k$. b. Tinjau kasus dimana planet bergerak dengan momentum sudut yang konstan sebesar L. L juga merupakan nilai momentum sudut jika planet bergerak melingkar dengan jari-jari ro. Tentukan persamaan gerak planet dalam arah radial yang menghubungkan $r_{0}$ , $L$, $G$, $M$, $m$, dan $k$. c. Tentukan periode revolusi planet mengelilingi Matahari jika diasumsikan orbit planet adalah lingkaran. Nyatakan jawaban dalam $L$, $m$, dan $r_{0}$ . d. Pada suatu ketika planet mengalami sedikit simpangan kecil pada arah radial sehingga orbitnya terganggu. Tunjukkan bahwa planet mengalami gerak osilasi harmonik sederhana pada arah radial. e. Asumsikan nilai F′ cukup kecil jika dibandingkan dengan gaya tarik Matahari. Tunjukkan bahwa orbit planet membentuk “precessing ellipse”. Petunjuk: gerak precessing ellipse adalah gerakan dengan bentuk dasar elips, namun sumbu elips tersebut juga ikut berputar (lihat gambar di bawah). Anda tidak perlu menggunakan persamaan elips untuk mengerjakan soal ini. f. Tunjukkan waktu yang dibutuhkan planet untuk kembali ke titik semula (titik sebelum mengalami simpangan) untuk pertama kalinya. Nyatakan jawaban dalam $L$, $m$, $k$, dan $r_{0}$ , $g$. g. Apakah arah putar dari sumbu elips sama gerakan precessing ellipse searah atau berlawanan arah kecepatan sudut planet? Jelaskan.