Detektor Harta Karun

Seorang awak kapal mencoba untuk mencari harta karun dengan cara mendeteksi objek bawah laut yang bersifat kondukstif. Ia melakukannya dengan cara menurunkan 2 buah kabel. Kabel pertama ia turunkan sampai menyentuh dasar laut dan kabel satunya lagi ia hubungkan ke bola konduktor pejal (berperan sebagai sensor) berjari-jari $a$ yang ia turunkan sampai ketinggian $h$ dari dasar laut dimana $h$ $\gg$ $a$ (lihat gambar di bawah). Kemudian, kedua kabel ia sambungkan ke kutub-kutub baterai dengan gaya gerak listrik sebesar $V$. Susunan ini dibuat dengan harapan dapat memberikan muatan pada sensor sehingga dapat mendeteksi keberadaan konduktor lain di dasar laut melalui interaksi gaya coulomb. Diasumsikan dasar laut rata sempurna dan berperan sebagai konduktor dengan potensial tetap, yakni $V$ = 0 (ground). Permitivitas listrik air laut adalah $\epsilon$. Jarak dasar laut ke permukaan air adalah $H$ dengan $H$ $\gg$ $h$. (a) Sebelum mencoba untuk menemukan harta karun, awak kapal tersebut mencoba untuk memperhitungkan besar muatan pada bola konduktor sensor. Dalam limit $h$ $\rightarrow$ $\infty$, tentukan muatan pada sensor yaitu $Q_{0}$ ! (b) Tanpa limit $h$ $\rightarrow$ $\infty$, tunjukkan bahwa muatan sensor dapat dituliskan sebagai $Q$ = $Q_{0}$ $f$($a$, $h$) dimana $f$($a$, $h$) merupakan suatu deret polinom tak hingga yang bergantung pada $a$ dan $h$. Tuliskan $f$($a$, $h$) sampai suku yang mengandung $a_{2}$ ! Petunjuk: Sistem bola konduktor dan konduktor dapat diganti dengan sistem muatan-muatan titik yang memenuhi syarat batas yang sama. (c) Perkirakan besar gaya elektrostatik yang dirasakan sensor, cukup sampai suku pertama. Apakah sensor tertarik ke dasar laut atau terdorong ke permukaan? Baterai yang menghubungkan sensor dengan dasar laut seakarang di lepas. Dari hasil perhitungan pada bagian (b), terlihat bahwa berlaku $Q$ $\approx$ $Q_{0}$ untuk $h$ $\gg$ $a$, sehingga dapat digunakan $Q_{0}$ sebagai muatan sensor pada perhitunganperhitungan selanjutnya. Sekarang, akan dipelajari reaksi sensor terhadap adanya konduktor lain. (d) Misalkan terdapat konduktor berbentuk bola berjari-jari $b$ tepat di bawah sensor yang terletak di atas dasar laut. Hitung besar gaya elektrostatik antara sensor dengan bola tersebut. Anggap $b$ $\gg$ $a$ sehingga sensor dapat diasumsikan sebagai muatan titik. Ternyata, sang awal kapal mengalami kesulitan untuk mengukur gaya elektrostatik yang muncul karena kondisi air tidak tenang. Untuk itu, ia memikirkan cara lain untuk mendeteksi keberadaan harta karun. Ia menganggap bahwa sistem sesnor, air laut, dan harta karum dapat dianggap sebagai suatu komponen rangkaian listrik, yakni resistor (resistansi $R$) yang terhubung dengan kapasitor (kapasitansi $C$) secara paralel. (e) Jika resistivitas air laut adalah $\rho$, hitung hasil perkalian $R$ dan $C$! Petunjuk: Nilai ini akan selalu sama untuk semua konfigurasi di mana sistem berada dalam medium dengan resistivitas $\rho$ dan permitivitas $\epsilon$. Jika tidak berhasil menemukan besaran ini, gunakan $R$$C$ = $K$ untuk perhitungan-perhitungan selanjutnya. Sang awak kapal memasang lampu pada rangkaian (set up) sebelumnya dengan harapan akan menemukan perubahan nyala lampu ketika sensor (probe) bergerak mendekati harta karun. Akan diselidiki pengaruh perubahan kapasitansi terhadap nyala lampu. (f) Perubahan kapasitansi dimodelkan berubah secara linear terhadap waktu dengan gradien $\pm$$\delta$, yakni +$\delta$ ketika meningkat dan – $\delta$ ketika menurun. Misalkan perahu mula-mula bergerak menuju harta karun (saat $t$ = 0 nilai $C$ = 0) dan mencapai titik dimana jarak sensor paling dekat dengan harta karun saat $t$ = $t_{0}$ . Gambarkan grafik kapasitansi rangkaian terhadap waktu, $C$($t$) serta resistansi sebagai fungsi waktu, $R$($t$). Tandai bagian-bagian penting dalam grafik. (g) Tentukan arus yang mengalir pada lampu yang memiliki resistansi $R_{0}$ sebagai fungsi waktu dalam selang 0 $\leq$ $t$ $\leq$ $t_{0}$ . Gunakan kasus khusus $R_{0}$ = 1/$\delta$. Petunjuk: Gunakan penyelesaian persamaan diferensial berikut. Solusi dari persamaan diferensial $d$$y_{1}$ + ($\alpha$ + ) $y$ = $\beta$ $d$$x$ $x$ adalah $y$= dengan $k$ adalah konstanta berdimensi.   a. Sebelum mencoba untuk menemukan harta karun, awak kapal tersebut mencoba untuk memperhitungkan besar muatan pada bola konduktor sensor. Dalam limit $h$ $\rightarrow$ $\infty$, tentukan muatan pada sensor yaitu $Q_{0}$ ! b. Tanpa limit $h$ $\rightarrow$ $\infty$, tunjukkan bahwa muatan sensor dapat dituliskan sebagai $Q$ = $Q_{0}$ $f$($a$, $h$) dimana $f$($a$, $h$) merupakan suatu deret polinom tak hingga yang bergantung pada $a$ dan $h$. Tuliskan $f$($a$, $h$) sampai suku yang mengandung $a_{2}$ ! Petunjuk: Sistem bola konduktor dan konduktor dapat diganti dengan sistem muatan-muatan titik yang memenuhi syarat batas yang sama. c. Perkirakan besar gaya elektrostatik yang dirasakan sensor, cukup sampai suku pertama. Apakah sensor tertarik ke dasar laut atau terdorong ke permukaan? Baterai yang menghubungkan sensor dengan dasar laut seakarang di lepas. Dari hasil perhitungan pada bagian (b), terlihat bahwa berlaku $Q$ $\approx$ $Q_{0}$ untuk $h$ $\gg$ $a$, sehingga dapat digunakan $Q_{0}$ sebagai muatan sensor pada perhitunganperhitungan selanjutnya. Sekarang, akan dipelajari reaksi sensor terhadap adanya konduktor lain. d. Misalkan terdapat konduktor berbentuk bola berjari-jari $b$ tepat di bawah sensor yang terletak di atas dasar laut. Hitung besar gaya elektrostatik antara sensor dengan bola tersebut. Anggap $b$ $\gg$ $a$ sehingga sensor dapat diasumsikan sebagai muatan titik. Ternyata, sang awal kapal mengalami kesulitan untuk mengukur gaya elektrostatik yang muncul karena kondisi air tidak tenang. Untuk itu, ia memikirkan cara lain untuk mendeteksi keberadaan harta karun. Ia menganggap bahwa sistem sesnor, air laut, dan harta karum dapat dianggap sebagai suatu komponen rangkaian listrik, yakni resistor (resistansi $R$) yang terhubung dengan kapasitor (kapasitansi $C$) secara paralel. e. Jika resistivitas air laut adalah $\rho$, hitung hasil perkalian $R$ dan $C$! Petunjuk: Nilai ini akan selalu sama untuk semua konfigurasi di mana sistem berada dalam medium dengan resistivitas $\rho$ dan permitivitas $\epsilon$. Jika tidak berhasil menemukan besaran ini, gunakan $R$$C$ = $K$ untuk perhitungan-perhitungan selanjutnya. Sang awak kapal memasang lampu pada rangkaian (set up) sebelumnya dengan harapan akan menemukan perubahan nyala lampu ketika sensor (probe) bergerak mendekati harta karun. Akan diselidiki pengaruh perubahan kapasitansi terhadap nyala lampu. f. Perubahan kapasitansi dimodelkan berubah secara linear terhadap waktu dengan gradien $\pm$$\delta$, yakni +$\delta$ ketika meningkat dan – $\delta$ ketika menurun. Misalkan perahu mula-mula bergerak menuju harta karun (saat $t$ = 0 nilai $C$ = 0) dan mencapai titik dimana jarak sensor paling dekat dengan harta karun saat $t$ = $t_{0}$ . Gambarkan grafik kapasitansi rangkaian terhadap waktu, $C$($t$) serta resistansi sebagai fungsi waktu, $R$($t$). Tandai bagian-bagian penting dalam grafik. g. Tentukan arus yang mengalir pada lampu yang memiliki resistansi $R_{0}$ sebagai fungsi waktu dalam selang 0 $\leq$ $t$ $\leq$ $t_{0}$ . Gunakan kasus khusus $R_{0}$ = 1/$\delta$. Petunjuk: Gunakan penyelesaian persamaan diferensial berikut. Solusi dari persamaan diferensial $d$$y_{1}$ + ($\alpha$ + ) $y$ = $\beta$ $d$$x$ $x$ adalah $y$= dengan $k$ adalah konstanta berdimensi.