Osilasi Terkopel

$\beta_{1}$ $\beta$ + ($-$ 2 + $k$$e$ $-$$\alpha$$x$ ) $\alpha$ $x$ $\alpha$ Sebuah mangkuk bermassa $m_{1}$ memiliki permukaan setengah bola dengan jari-jari $R$. Mangkuk tersebut berada di atas lantai licin serta terhubung dengan pegas tak bermassa (dengan tetapan pegas $k$) yang tersambung ke dinding hitam yang kokoh (lihat gambar di bawah). di atas permukaan setengah bola tersebut terdapat partikel bermassa $m_{2}$ yang dapat bergerak bebas tanpa gesekan. Sudut antara garis penghubung pusat bola mangkok ke partikel $m_{2}$ dengan garis vertikal yang melalui pusat bola adalah $\theta$. Anggap bahwa gerakan $m_{1}$ hanya pada arah horizontal $x$ (positif ke kanan, negatif ke kiri), serta gerakan $m_{2}$ (dua dimensi) menyusuri lintasan setengah lingkaran seperti pada gambar. Percepatan gravitasi $g$ ke bawah. (a) Dengan mengasumsikan sudut $\theta$ tidak kecil, tuliskan dua persamaan gerak yang melibatkan besaran $x$ dan $\theta$! (b) Dari dua persamaan di atas, dengan mengasumsikan bahwa sudut $\theta$ kecil, tentutkan kecepatan sudut osilasi untuk mode normal sistem tersebut! (c) Selanjutnya tentukan kecepatan sudut osilasi untuk kasus khusus berikut ini serta berikan interpretasi fisisnya. (i) Tetapan pegas $k$ = 0 (ii) Tetapan pegas $k$ $\rightarrow$ $\infty$ (iii) Massa $m_{2}$ = 0 (iv) Jari-jari $R$ $\rightarrow$ 0  a. Dengan mengasumsikan sudut $\theta$ tidak kecil, tuliskan dua persamaan gerak yang melibatkan besaran $x$ dan $\theta$! b. Dari dua persamaan di atas, dengan mengasumsikan bahwa sudut $\theta$ kecil, tentutkan kecepatan sudut osilasi untuk mode normal sistem tersebut! c. Selanjutnya tentukan kecepatan sudut osilasi untuk kasus khusus berikut ini serta berikan interpretasi fisisnya. i. Tetapan pegas $k$ = 0 (ii) Tetapan pegas $k$ $\rightarrow$ $\infty$ (iii) Massa $m_{2}$ = 0 (iv) Jari-jari $R$ $\rightarrow$ 0