Peluncuran Rudal dari Kutub Utara

Sebuah rudal bermassa diluncurkan dari kutub Utara Bumi. Lokasi target penembakan (yang berada pada suatu daerah di Bumi) dapat ditentukan dengan mengatur sudut elevasi sedemikian rupa. Anggap bahwa ruadl tidak memiliki gaya dorong selama mengudara. Diketahui pada daya maksimalnya, alat peluncur rudal tersebut dapat meluncurkan rudal dengan kelajuan awal 0. Bumi dimodelkan sebagai bola dengan jari-jari $R$ dan bermassa $M$, dimana efek rotasi, gaya koriolis, serta gaya gesek atmosfer Bumi dapat diabaikan. Konstanta gravitasi umum adalah . Persamaaan matematis kurva elips tidak diperlukan untuk mengerjakan soal ini. Tentukan: - (a) Sketsa bentuk lintasn rudal! Mengapa lintasan rudal berbentuk elips? - (b) Batasan untuk nilai $^0$ agar rudal dapat mencapai target di permukaan bumi! Apa makna fisis untuk nilai ini? - (c) Energi mekanik yang dimiliki oleh rudal dinyatakan dalam $m$, $v_0$, $R$, $G$, dan $a$ dimana $a$ adalah panjang sumbu mayor (sumbu terpanjang) lintasan rudal! - (d) Jangkauan maksimum rudal (jarak maksimum antara lokasi peluncuran dan target rudal yang diukur di permukaan bumi)! Tentukan pula cosinus dari sudut elevasi rudal (terhadap permukaan bumi) agar dapat mencapai nilai jangkauan maksimum! - (e) Ketinggian maksimum rudal diukur dari permukaan bumi untuk kasus jangkauan maksimum! Tentukan pula kelajuan ketika rudal berada di ketinggian maksimum tersebut! - (f) Batas maksimum $^0$ untuk kasus jangkau maksimum! Apa makna fisis untuk nilai ini? - (g) Jika target berada di lokasi yang dekat dengan tempat peluncuran rudal (masih di sekitar kutub utara), berapakah sudut elevasi agar kelajuan rudal seminimum mungkin? Apa makna fisis untuk nilai ini? Dalam proses perancangan rudal, paling penting untuk memperhitungkan batas-batas besaran fisis di atmosfer bumi agar rudal tidak hancur/meledak di udara, salah satunya adalah besar rapat muatan listrik per satuan volume () di atmosfer Bumi. Atmosfer bumi dimodelkan sebagai medium yang memiliki konduktivitas listrik () yang bervariasi terhadap ketinggian dari permukaan bumi ($h$) dengan fungsi ($h$) = $^1$ + 2$h_{2}$ , dimana $^1$ dan $^2$ adalah suatu konstanta fisis yang berkaitan dengan sifat-sifat elektrik yang dimiliki atmosfer. Rudal dirancang agar tahan melalui medium dengan besar rapat muatan persatuan volume maksimum sebesar m. Diketahui di permukaan bumi terdapat medan listrik arah radial sebesar $^0$ dan permitivitas atmosfer bumi seragam sebesar 0. - (h) Tentukan besar sebagai fungsi dari ketinggian ($h$)! - (i) Tentukan besar $^m$ untuk rudal dengan kasus jangkauan maksimum jika alat peluncur rudal memiliki daya maksimum yang dapat meluncurkan rudal dengan kelajuan awal $^0$ = $\sqrt{}$3/4! Petunjuk: Kalian dapat menggunakan sifat-sifat dasar elips berikut.  - Jumlah jarak suatu titik pada elips ke masing-masing titik fokus selalu sama dengan panjang sumbu mayor (sumbu terpanjang) elips ( + ′ = 2). - Sudut-sudut yang dibentuk garis normal suatu titik pada elips ke garis yang menghubungkan titik tersebut ke masing-masing titik fokus selalu sama ($\angle$ = $\angle$ ′). a. Sketsa bentuk lintasn rudal! Mengapa lintasan rudal berbentuk elips? b. Batasan untuk nilai $^0$ agar rudal dapat mencapai target di permukaan bumi! Apa makna fisis untuk nilai ini? c. Energi mekanik yang dimiliki oleh rudal dinyatakan dalam $m$, $v_0$, $R$, $G$, dan $a$ dimana $a$ adalah panjang sumbu mayor (sumbu terpanjang) lintasan rudal! d. Jangkauan maksimum rudal (jarak maksimum antara lokasi peluncuran dan target rudal yang diukur di permukaan bumi)! Tentukan pula cosinus dari sudut elevasi rudal (terhadap permukaan bumi) agar dapat mencapai nilai jangkauan maksimum! e. Ketinggian maksimum rudal diukur dari permukaan bumi untuk kasus jangkauan maksimum! Tentukan pula kelajuan ketika rudal berada di ketinggian maksimum tersebut! f. Batas maksimum $^0$ untuk kasus jangkau maksimum! Apa makna fisis untuk nilai ini? g. Jika target berada di lokasi yang dekat dengan tempat peluncuran rudal (masih di sekitar kutub utara), berapakah sudut elevasi agar kelajuan rudal seminimum mungkin? Apa makna fisis untuk nilai ini? Dalam proses perancangan rudal, paling penting untuk memperhitungkan batas-batas besaran fisis di atmosfer bumi agar rudal tidak hancur/meledak di udara, salah satunya adalah besar rapat muatan listrik per satuan volume () di atmosfer Bumi. Atmosfer bumi dimodelkan sebagai medium yang memiliki konduktivitas listrik () yang bervariasi terhadap ketinggian dari permukaan bumi ($h$) dengan fungsi ($h$) = $^1$ + 2$h_{2}$ , dimana $^1$ dan $^2$ adalah suatu konstanta fisis yang berkaitan dengan sifat-sifat elektrik yang dimiliki atmosfer. Rudal dirancang agar tahan melalui medium dengan besar rapat muatan persatuan volume maksimum sebesar m. Diketahui di permukaan bumi terdapat medan listrik arah radial sebesar $^0$ dan permitivitas atmosfer bumi seragam sebesar 0. h. Tentukan besar sebagai fungsi dari ketinggian ($h$)! i. Tentukan besar $^m$ untuk rudal dengan kasus jangkauan maksimum jika alat peluncur rudal memiliki daya maksimum yang dapat meluncurkan rudal dengan kelajuan awal $^0$ = $\sqrt{}$3/4! Petunjuk: Kalian dapat menggunakan sifat-sifat dasar elips berikut.  - Jumlah jarak suatu titik pada elips ke masing-masing titik fokus selalu sama dengan panjang sumbu mayor (sumbu terpanjang) elips ( + ′ = 2). - Sudut-sudut yang dibentuk garis normal suatu titik pada elips ke garis yang menghubungkan titik tersebut ke masing-masing titik fokus selalu sama ($\angle$ = $\angle$ ′).