Model Sederhana Aliran Darah

Tinjau model sederhana aliran dalam pembuluh darah, dimana hubungan antara tekanan darah dan debit aliran dapat dimodelkan sebagai tegangan dan arus dalam rangkaian listrik. Anggap penampang pembuluh ideal berbentuk lingkaran dengan radius dalam $a$ (lihat gambar dibawah). Darah dianggap sebagai fluida Newtonian dengan massa jenis $\rho$ dan viskositas $\mu$. Bagian I: Kondisi Tunak Pada aliran tunak, kecepatan aliran darah dalam pembuluh tidak berubah terhadap waktu. Hubungan penurunan tekanan darah (akibat gesekan dengan dinding pembuluh) dengan debit aliran tunak dapat dimodelkan sebagai hubungan tegangan-arus yang melewati resistor. Untuk segmen pembuluh darah dengan panjang $\Delta$$x$, berlaku hubungan berikut, $\Delta$$P$ = $R$$Q$ $\ldots$ (1), $R$ = $r$$\Delta$$x$ = 8$\mu$ $\Delta$$x$ $\ldots$ (2). $\pi$$a_{4}$ (a) Perhatikan bahwa makin besar penampang pembuluh, makin kecil hambatan yang dialami, sehingga energi yang terdisipasi makin kecil. Namun seiring peningkatan radius penampang $a$, energi yang dibutuhkan untuk mempertahankan aliran (energi maintenance) akan membesar. Bisa diasumsikan daya maintenance sebanding dengan volume rongga pembuluh, tunjukkan bahwa daya minimum diperoleh ketika debit aliran $Q$ sebanding dengan $a$$n$ . Tentukan nilai $n$! Bagian II: Kondisi Transien Tekanan darah secara umum merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu, perilaku tekanan-debit tidak dapat diwakilkan menggunakan komponen resistor saja. Pada bagian ini, akan dimodelkan komponen induktor dan kapasitor yang mewakili perilaku transien (fungsi waktu) dari aliran. (b) Bila tidak ada gesekan dengan dinding pembuluh, penurunan tekanan $\Delta$$P$ pada segmen pembuluh sepanjang $\Delta$$x$ akan menyebabkan percepatan aliran fluida. Tunjukkan bahwa pada kondisi tersebut terdapat hubungan berikut! Nyatakan $l$ dalam $\rho$ dan $a$. $\Delta$$P$ = $L$ $d$$Q$ $d$$Q$ = $l$$\Delta$$x$ $\ldots$ (3). $d$$t$ $d$$t$ (c) Adanya perbedaan tekanan darah dengan tekanan di luar pembuluh dapat menyebabkan deformasi dinding pembuluh. Untuk mempelajari deformasi tersebut, asumsikan dinding pembuluh tipis, dengan ketebalan $h$ $\ll$ $a$ dan modulus elastisitas $E$. Bila diasumsikan tidak ada deformasi di arah sumbu pembuluh ($\Delta$$x$ konstan) dan deformasi kecil serta simetris secara radial, tunjukkan bahwa berlaku hubungan berikut! $Q$=$C$ $d$$\Delta$$P$ $d$$\Delta$$P$ = $c$$\Delta$$x$ $\ldots$ (4). $d$$t$ $d$$t$ Variabel $\Delta$$P$ di sini merujuk pada beda tekanan darah dengan luar pembuluh. Nyatakan $c$ dalam $E$, $h$, dan $a$. Petunjuk: Tentukan hubungan beda tekanan dengan tegangan dalam dinding pembuluh. Bagian III: Transmisi Sinyal Tekanan Darah Berdasarkan perhitungan-perhitungan di atas, transmisi tekanan darah dapat dianalogikan sebagai suatu rangkaian listrik RLC. Petunjuk: Gunakan asumsi bahwa tekanan darah dan debit aliran darah masing-masing sebanding dengan tegangan dan arus dalam rangkaian listrik. (d) Di bawah adalah rangkaian listrik yang analog dengan segmen pembuluh yang pendek. Bila tekanan sumber berbentuk $P$$i$$n$ = $P_{0}$ cos $𝜔$$t$, tunjukkan bahwa transmisi tekanan akan didominasi frekuensi rendah! Kemudian hitung frekuensi $𝜔$$p$ dimana $P$$o$$u$$t$,$r$$m$$s$ /$P$$i$$n$,$r$$m$$s$ bernilai maksimum! Nyatakan jawaban dalam $R$, $L$, dan $C$. (e) Untuk segmen yang panjang dengan penampang besar, rangkaian listrik analog akan membentuk rangkaian jalur transmisi seperti pada gambar dibawah. Tentukan besar impedansi efektif $Z$ dari rangkaian tersebut untuk frekuensi rendah ($𝜔$ < 2/$\sqrt{}$$L$$C$)! Nyatakan dalam $l$ dan $c$.  a. Perhatikan bahwa makin besar penampang pembuluh, makin kecil hambatan yang dialami, sehingga energi yang terdisipasi makin kecil. Namun seiring peningkatan radius penampang $a$, energi yang dibutuhkan untuk mempertahankan aliran (energi maintenance) akan membesar. Bisa diasumsikan daya maintenance sebanding dengan volume rongga pembuluh, tunjukkan bahwa daya minimum diperoleh ketika debit aliran $Q$ sebanding dengan $a$$n$ . Tentukan nilai $n$! Bagian II: Kondisi Transien Tekanan darah secara umum merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu, perilaku tekanan-debit tidak dapat diwakilkan menggunakan komponen resistor saja. Pada bagian ini, akan dimodelkan komponen induktor dan kapasitor yang mewakili perilaku transien (fungsi waktu) dari aliran. b. Bila tidak ada gesekan dengan dinding pembuluh, penurunan tekanan $\Delta$$P$ pada segmen pembuluh sepanjang $\Delta$$x$ akan menyebabkan percepatan aliran fluida. Tunjukkan bahwa pada kondisi tersebut terdapat hubungan berikut! Nyatakan $l$ dalam $\rho$ dan $a$. $\Delta$$P$ = $L$ $d$$Q$ $d$$Q$ = $l$$\Delta$$x$ $\ldots$ (3). $d$$t$ $d$$t$ c. Adanya perbedaan tekanan darah dengan tekanan di luar pembuluh dapat menyebabkan deformasi dinding pembuluh. Untuk mempelajari deformasi tersebut, asumsikan dinding pembuluh tipis, dengan ketebalan $h$ $\ll$ $a$ dan modulus elastisitas $E$. Bila diasumsikan tidak ada deformasi di arah sumbu pembuluh ($\Delta$$x$ konstan) dan deformasi kecil serta simetris secara radial, tunjukkan bahwa berlaku hubungan berikut! $Q$=$C$ $d$$\Delta$$P$ $d$$\Delta$$P$ = $c$$\Delta$$x$ $\ldots$ (4). $d$$t$ $d$$t$ Variabel $\Delta$$P$ di sini merujuk pada beda tekanan darah dengan luar pembuluh. Nyatakan $c$ dalam $E$, $h$, dan $a$. Petunjuk: Tentukan hubungan beda tekanan dengan tegangan dalam dinding pembuluh. Bagian III: Transmisi Sinyal Tekanan Darah Berdasarkan perhitungan-perhitungan di atas, transmisi tekanan darah dapat dianalogikan sebagai suatu rangkaian listrik RLC. Petunjuk: Gunakan asumsi bahwa tekanan darah dan debit aliran darah masing-masing sebanding dengan tegangan dan arus dalam rangkaian listrik. d. Di bawah adalah rangkaian listrik yang analog dengan segmen pembuluh yang pendek. Bila tekanan sumber berbentuk $P$$i$$n$ = $P_{0}$ cos $𝜔$$t$, tunjukkan bahwa transmisi tekanan akan didominasi frekuensi rendah! Kemudian hitung frekuensi $𝜔$$p$ dimana $P$$o$$u$$t$,$r$$m$$s$ /$P$$i$$n$,$r$$m$$s$ bernilai maksimum! Nyatakan jawaban dalam $R$, $L$, dan $C$. e. Untuk segmen yang panjang dengan penampang besar, rangkaian listrik analog akan membentuk rangkaian jalur transmisi seperti pada gambar dibawah. Tentukan besar impedansi efektif $Z$ dari rangkaian tersebut untuk frekuensi rendah ($𝜔$ < 2/$\sqrt{}$$L$$C$)! Nyatakan dalam $l$ dan $c$.