Dinamika Gerak Tali

Meskipun merupakan objek sehari-hari, rantai dan tali sering menampilkan fenomena fisis yang cukup menarik. Pada soal ini, kita akan mempelajari fenomena dimana sebuah tali akan terangkat dengan sendirinya apabila diberikan kecepatan yang tinggi (lihat gambar) – oleh gaya gesek udara. Fenomena ini ditemukan dan dipelajari oleh fisikawan Prancis dan publikasi di jurnal Physical Review Letters 123, 144501 (2019). Gelangan tali dengan panjang $L$ diputar oleh poros motor searah jarum jam sehingga memiliki kelajuan $v$ dengan bentuk seperti pada gambar diatas. Terdapat dua gaya yang bekerja pada tali gaya gravitasi dan gaya gesek udara. Gaya gravitasi per satuan panjang tali adalah $f$$w$ = $\lambda$$g$, dimana $\lambda$ adalah rapat massa per satuan panjang tali dan $g$ adalah percepatan gravitasi. Gaya gesek udara per satuan panjang tali memiliki arah berlawanan dengan kecepatan tali dan dapat dinyatakan dengan persamaan: 1 $f$$d$ = $\rho$$C$$d$ $\pi$$r$$v_{2}$ , 2 di mana $\rho$ = 1,2 kg/m3 adalah rapat massa udara, $C$$d$ $\approx$ 0,2 adalah koefisien gesek udara dari data eksperimen, dan $r$ adalah radius tali. (a) Bentuk gelangan tali tersebut dapat diperoleh dengan analisis elemen kecil dan metode numerik. Namun, pada soal ini, kita meninjau bentuk sederhana yang dapat menangkap esensi fenomena fisis yang bekerja. Anggap gelangan tali tersebut membentuk segitiga sama kaki (lihat gambar). Kita meninjau kasus $v$ yang cukup tinggi, yaitu ketika tali telah “terangkat” oleh gaya gesek udara, sehingga sudut $\theta$ dan $\alpha$ dapat dianggap cukup kecil. Tentukan momen gaya (torka) pada sistem tali yang disebabkan oleh (i) gaya gravitasi (ii) gaya gesek udara terhadap sumbu poros motor! Abaikan radius poros motor, dan nyatakan jawaban Anda dalam variabel $f$$w$ , $f$$d$ , panjang kaki segitiga $l_{1}$ , dan ekspansi sudut-sudut $\theta$ dan $\alpha$ sampai pada orde kedua ($\theta$, $\alpha$, $\theta_{2}$, $\alpha_{2}$ , dan $\theta$$\alpha$). Petunjuk: Jika diperlukan, lengan momen dari pusat massa gelangan tali ke poros motor (jarak $b$ pada gambar) adalah sebagai berikut: $b$ = $l_{1}$ [cos $\alpha$ cos($\theta$ + $\alpha$) + sin $\alpha$ sin($\theta$ + $\alpha$) ]. 2(1 + cos $\alpha$) (b) Dengan menganggap bahwa $\theta$ $\approx$ $\alpha$, carilah nilai numerik dari rasio $f$$d$ /$f$$w$ untuk mengangkat tali tersebut sampai pada sudut $\theta$ $\approx$ 0,1 rad dan $\theta$ $\approx$ 0,01 rad! Pada bagian-bagian selanjutnya, kita akan mencari tegangan tali pada posisi tali berbeda (lihat gambar di bawah), untuk dua kasus ekstrem: (1) kelajuan $v$ cukup rendah, sehingga gaya gravitasi mendominasi ($\eta$ $\ll$ 1), dan (2) kelajuan $v$ cukup tinggi, sehingga gaya gesek udara mendominasi ($\eta$ $\gg$ 1). Pada kasus ekstrem ini, kedua ruas tali sejajar dan membentuk setengah lingkaran pada ujung bebasnya. Anda boleh menganggap jari-jari lingkaran $R$ tersebut cukup kecil. (c) Tentukanlah tegangan tali pada ujung bebas tali $T$$k$ (posisi B) (nyatakan jawaban Anda dalam variabel $\lambda$, $v$, dan jari-jari setengah lingkaran ujung bebas $R$)! Tegangan ini dikenal juga dengan sebutan tegangan kinetik, dan tidak memiliki ketergantungan terhadap $f$$d$ ataupun $f$$w$ . (d) Sketsakan grafik tegangan tali terhadap posisi tali dari $A$ ($\ell$ = 0) ke B ($\ell$ = $L$/2) ke C ($\ell$ = $L$). Tentukan juga nilai gradien tegangan tali $d$$T$/$d$$\ell$ untuk segmen-segmen tali tersebut. (e) Pada kasus ekstrem (2), tali akan meregang jika $L$ sangat panjang. Tentukanlah posisi dimana peregangan tersebut dapat terjadi, dan cari juga nilai $L$ ini! Nyatakan jawaban Anda dalam variabel $\lambda$, $v$, dan $f$$d$ . (f) Pada bagian terakhir soal ini, kita akan mengestimasi nilai numerik untuk beberapa parameter eksperimen berikut ini. Anggap tali yang digunakan memiliki jari-jari $r$ = 1 mm dengan rapat massa per satuan panjang $\lambda$ = 0,3 g/m. (i) Hitung panjang minimum $L$ supaya terjadi peregangan pada kasus ekstrem (2). (ii) Hitung kelajuan minimum tali untuk mencapai sudut $\theta$ $\approx$ 0,1 rad. Jika Anda tidak mendapatkan hasil pada soal (b), pakai nilai rasio $\eta$ = 10. (iii) Tentukan daya yang dikeluarkan oleh motor untuk mempertahankan kelajuan tali dengan panjang tali yang didapat dari bagian (i) dan kelajuan tali yang didapat dari bagian (ii).  a. Bentuk gelangan tali tersebut dapat diperoleh dengan analisis elemen kecil dan metode numerik. Namun, pada soal ini, kita meninjau bentuk sederhana yang dapat menangkap esensi fenomena fisis yang bekerja. Anggap gelangan tali tersebut membentuk segitiga sama kaki (lihat gambar). Kita meninjau kasus $v$ yang cukup tinggi, yaitu ketika tali telah “terangkat” oleh gaya gesek udara, sehingga sudut $\theta$ dan $\alpha$ dapat dianggap cukup kecil. Tentukan momen gaya (torka) pada sistem tali yang disebabkan oleh (i) gaya gravitasi (ii) gaya gesek udara terhadap sumbu poros motor! Abaikan radius poros motor, dan nyatakan jawaban Anda dalam variabel $f$$w$ , $f$$d$ , panjang kaki segitiga $l_{1}$ , dan ekspansi sudut-sudut $\theta$ dan $\alpha$ sampai pada orde kedua ($\theta$, $\alpha$, $\theta_{2}$, $\alpha_{2}$ , dan $\theta$$\alpha$). Petunjuk: Jika diperlukan, lengan momen dari pusat massa gelangan tali ke poros motor (jarak $b$ pada gambar) adalah sebagai berikut: $b$ = $l_{1}$ [cos $\alpha$ cos($\theta$ + $\alpha$) + sin $\alpha$ sin($\theta$ + $\alpha$) ]. 2(1 + cos $\alpha$) b. Dengan menganggap bahwa $\theta$ $\approx$ $\alpha$, carilah nilai numerik dari rasio $f$$d$ /$f$$w$ untuk mengangkat tali tersebut sampai pada sudut $\theta$ $\approx$ 0,1 rad dan $\theta$ $\approx$ 0,01 rad! Pada bagian-bagian selanjutnya, kita akan mencari tegangan tali pada posisi tali berbeda (lihat gambar di bawah), untuk dua kasus ekstrem: (1) kelajuan $v$ cukup rendah, sehingga gaya gravitasi mendominasi ($\eta$ $\ll$ 1), dan (2) kelajuan $v$ cukup tinggi, sehingga gaya gesek udara mendominasi ($\eta$ $\gg$ 1). Pada kasus ekstrem ini, kedua ruas tali sejajar dan membentuk setengah lingkaran pada ujung bebasnya. Anda boleh menganggap jari-jari lingkaran $R$ tersebut cukup kecil. c. Tentukanlah tegangan tali pada ujung bebas tali $T$$k$ (posisi B) (nyatakan jawaban Anda dalam variabel $\lambda$, $v$, dan jari-jari setengah lingkaran ujung bebas $R$)! Tegangan ini dikenal juga dengan sebutan tegangan kinetik, dan tidak memiliki ketergantungan terhadap $f$$d$ ataupun $f$$w$ . d. Sketsakan grafik tegangan tali terhadap posisi tali dari $A$ ($\ell$ = 0) ke B ($\ell$ = $L$/2) ke C ($\ell$ = $L$). Tentukan juga nilai gradien tegangan tali $d$$T$/$d$$\ell$ untuk segmen-segmen tali tersebut. e. Pada kasus ekstrem (2), tali akan meregang jika $L$ sangat panjang. Tentukanlah posisi dimana peregangan tersebut dapat terjadi, dan cari juga nilai $L$ ini! Nyatakan jawaban Anda dalam variabel $\lambda$, $v$, dan $f$$d$ . f. Pada bagian terakhir soal ini, kita akan mengestimasi nilai numerik untuk beberapa parameter eksperimen berikut ini. Anggap tali yang digunakan memiliki jari-jari $r$ = 1 mm dengan rapat massa per satuan panjang $\lambda$ = 0,3 g/m. (i) Hitung panjang minimum $L$ supaya terjadi peregangan pada kasus ekstrem (2). (ii) Hitung kelajuan minimum tali untuk mencapai sudut $\theta$ $\approx$ 0,1 rad. Jika Anda tidak mendapatkan hasil pada soal (b), pakai nilai rasio $\eta$ = 10. (iii) Tentukan daya yang dikeluarkan oleh motor untuk mempertahankan kelajuan tali dengan panjang tali yang didapat dari bagian (i) dan kelajuan tali yang didapat dari bagian (ii).