Fenomena "Ball Spins Out" pada Golf

Pada salah satu kejuaraan gold tahun 2020, terdapat fenomena “ball spins out” yang dialami oleh seorang atlet golf professional, dimana bola yang masuk ke dalam lubang mengalami rotasi pada permukaan dalam lubang, kemudian keluar kembali. Fenomena ini dapat terjadi karena bola mengalami gerak harmonik sederhana pada arah vertikal, sehingga kembali dalam waktu tertentu. Bola golf dimodelkan sebagai bola berongga bermassa $m$ dan berjari-jari $r$, serta lubang merupakan sebuah silinder berongga yang memiliki jari-jari $R$. Asumsikan terdapat gesekan yang sangat besar antara permukaan bola dan lubang. Anggap saja proses masuknya bola ke dalam lubang terjadi secara mulus, kemudian pusat massa bola mengikuti lintasan dari titik 1 ke 2 seperti gambar di bawah. Keadaan bola di titik 1 dan 2 masing-masing merupakan keadaan ketika bola tepat sudah masuk dan akan keluar dari lubang, dimana ketinggian pusat massa bola pada titik 1 sama dengan 2. Pada titik 1 bola sedang memiliki kecepatan $v_{0}$ ke arah sumbu $y$. Percepatan gravitasi bumi adalah $g$. (a) Tentukan besar kecepatan sudut rotasi bola terhadap pusat massa dan kecepatan sudut revolusi pusat massa terhadap sumbu silinder di titik 1 pada arah sejajar sumbu $z$! Apakah nilai-nilai tersebut bernilai konstan? (b) Tinjau sebuah sistem koordinat polar dengan sumbu $r$ dan $\theta$ yang ikut berputar bersama bola, dengan sumbu $r$ selalu mengarah keluar dari sumbu silinder dan sumbu $\theta$ selalu sejajar dengan vektor kecepatan bola arah mendatar. Pada keadaan sembarang tepat setelah melewati titik 1, bola memiliki vektor kecepatan sudut rotasi $d$$𝜔$ $d$$𝜔$ $𝜔$$r$ $\hat{r}$ + $𝜔$$\theta$ $\hat{\theta}$ serta vektor percepatan sudut $r$ $\hat{r}$ + $\theta$ $\hat{\theta}$. Tentukan vektor percepatan sudut dalam koordinat $d$$t$ $d$$t$ kartesius $x$, $y$, dan $z$! (c) Tentukan persamaan gerak bola yang mengandung variabel-variabel turunan posisi vertikal bola! Kemudian tentukan pula kecepatan vertikal bola sebagai fungsi waktu! (d) Tentukan kedalaman maksimum yang dapat dicapai bola selama gerakannya diukur dari titik 1! Tentukan pula koefisien gesek minimum agar bola selalu tidak slip! (e) Tentukan waktu yang diperlukan bola agar keluar kembali dari lubang (waktu ini dapat diasumsikan mendekati waktu pergerakan bola dari titik 1 ke 2)! (f) Misalkan setelah mencapai titik 2 bola tepat tidak keluar, melainkan tetap melanjutkan gerakannya di sepanjang permukaan dalam lubang terus menerus, apakah bola akan kembali ke titik 1? Jelaskan! Fenomena “ball spins out” dapat dihindari dengan menghilangkan gerak harmonik sederhana bola pada arah vertikal. Untuk mencapai tujuan tersebut, dirancang suatu lubang golf dengan komponen tambahan berupa rangkaian listrik yang terdiri dari resistor, dua baterai listrik, saklar tiga titik, dan kumparan yang melilit lubang tersebut. Diketahui ggl baterai $𝜖$, resistansi resistor $R$, kedalaman lubang $l$, banyaknya lilitan pada kumparan $N$, dan permeabilitas udara adalah $\mu_{0}$ . Saklar dapat diposisikan pada kontak 1 atau 2. Abaikan induktansi kumparan dan efek tepi pada ujung-ujung kumparan. (g) Tentukan besar medan magnet yang terjadi pada ujung atas kumparan (titik O)! Untuk bagian selanjutnya, anggap kedalaman lubang jauh lebih besar dibandingkan jari-jarinya, sehingga dapat diasumsikan kumparan menimbulkan medan magnet yang seragam pada bagian atas lubang. Selama bola golf bergerak lurus sebelum masuk lubang, ia telah mendapatkan muatan $Q$ akibat bergesekan dengan rumput. Pada soal bagian (h) hingga (j), sementara anggap saja gaya magnet yang dirasakan bola tidak cukup besar sehingga bola tetap kontak dengan permukaan dinding bagian dalam lubang. (h) Tinjau keadaan sembarang tepat setelah bola melewati titik 1, dimana saat itu bola memiliki kecepatan sudut rotasi $𝜔$$r$ $\hat{r}$ + $𝜔$$\theta$ $\hat{\theta}$. Tentukan vektor torsi tambahan terhadap pusat massa bola akibat adanya medan magnet oleh kumparan dalam koordinat kartesius $x$, $y$, dan $z$! (i) Tentukan kecepatan vertikal bola sebagai fungsi waktu! (j) Tentukan besar ggl baterai ($𝜖_{0}$ ) agar tidak terjadi “ball spins out”! Di kontak manakah saklar harus diposisikan? (k) Jika gaya magnet yang dirasakan bola melebihi suatu nilai kritis tertentu, bola akan lepas kontak dari permukaan dinding bagian dalam lubang. Tentukan besar ggl baterai ($𝜖$$c$ ) untuk kasus ini! Bandingkan $𝜖$$c$ dan $𝜖_{0}$ , apa kesimpulan fisis yang dapat diambil? Petunjuk: $\bullet$ $\vec{}$ $\vec{}$$\vec{}$ terhadap waktu adalah $d$$A$ = Turunan suatu vektor $A$ yang dapat berputar dengan kecepatan sudut konstan $\vec{}$$\Omega$ $d$$t$ $\vec{}$$\Omega$ $\vec{}$$\vec{}$ $\times$ $A$. $\bullet$ $\vec{}$$\vec{}$ yang bekerja pada suatu benda tegar bermassa $m$ dan bermuatan $Q$ dengan Torsi akibat medan magnet $B$ $Q$ $\vec{}$$L$ $\times$ $B$ $\vec{}$$\vec{}$. momentum sudut $\vec{}$$L$ adalah $\upsilon$$B$ = 2$m$ Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj  a. Tentukan besar kecepatan sudut rotasi bola terhadap pusat massa dan kecepatan sudut revolusi pusat massa terhadap sumbu silinder di titik 1 pada arah sejajar sumbu $z$! Apakah nilai-nilai tersebut bernilai konstan? b. Tinjau sebuah sistem koordinat polar dengan sumbu $r$ dan $\theta$ yang ikut berputar bersama bola, dengan sumbu $r$ selalu mengarah keluar dari sumbu silinder dan sumbu $\theta$ selalu sejajar dengan vektor kecepatan bola arah mendatar. Pada keadaan sembarang tepat setelah melewati titik 1, bola memiliki vektor kecepatan sudut rotasi $d$$𝜔$ $d$$𝜔$ $𝜔$$r$ $\hat{r}$ + $𝜔$$\theta$ $\hat{\theta}$ serta vektor percepatan sudut $r$ $\hat{r}$ + $\theta$ $\hat{\theta}$. Tentukan vektor percepatan sudut dalam koordinat $d$$t$ $d$$t$ kartesius $x$, $y$, dan $z$! c. Tentukan persamaan gerak bola yang mengandung variabel-variabel turunan posisi vertikal bola! Kemudian tentukan pula kecepatan vertikal bola sebagai fungsi waktu! d. Tentukan kedalaman maksimum yang dapat dicapai bola selama gerakannya diukur dari titik 1! Tentukan pula koefisien gesek minimum agar bola selalu tidak slip! e. Tentukan waktu yang diperlukan bola agar keluar kembali dari lubang (waktu ini dapat diasumsikan mendekati waktu pergerakan bola dari titik 1 ke 2)! f. Misalkan setelah mencapai titik 2 bola tepat tidak keluar, melainkan tetap melanjutkan gerakannya di sepanjang permukaan dalam lubang terus menerus, apakah bola akan kembali ke titik 1? Jelaskan! Fenomena “ball spins out” dapat dihindari dengan menghilangkan gerak harmonik sederhana bola pada arah vertikal. Untuk mencapai tujuan tersebut, dirancang suatu lubang golf dengan komponen tambahan berupa rangkaian listrik yang terdiri dari resistor, dua baterai listrik, saklar tiga titik, dan kumparan yang melilit lubang tersebut. Diketahui ggl baterai $𝜖$, resistansi resistor $R$, kedalaman lubang $l$, banyaknya lilitan pada kumparan $N$, dan permeabilitas udara adalah $\mu_{0}$ . Saklar dapat diposisikan pada kontak 1 atau 2. Abaikan induktansi kumparan dan efek tepi pada ujung-ujung kumparan. g. Tentukan besar medan magnet yang terjadi pada ujung atas kumparan (titik O)! Untuk bagian selanjutnya, anggap kedalaman lubang jauh lebih besar dibandingkan jari-jarinya, sehingga dapat diasumsikan kumparan menimbulkan medan magnet yang seragam pada bagian atas lubang. Selama bola golf bergerak lurus sebelum masuk lubang, ia telah mendapatkan muatan $Q$ akibat bergesekan dengan rumput. Pada soal bagian (h) hingga (j), sementara anggap saja gaya magnet yang dirasakan bola tidak cukup besar sehingga bola tetap kontak dengan permukaan dinding bagian dalam lubang. h. Tinjau keadaan sembarang tepat setelah bola melewati titik 1, dimana saat itu bola memiliki kecepatan sudut rotasi $𝜔$$r$ $\hat{r}$ + $𝜔$$\theta$ $\hat{\theta}$. Tentukan vektor torsi tambahan terhadap pusat massa bola akibat adanya medan magnet oleh kumparan dalam koordinat kartesius $x$, $y$, dan $z$! i. Tentukan kecepatan vertikal bola sebagai fungsi waktu! j. Tentukan besar ggl baterai ($𝜖_{0}$ ) agar tidak terjadi “ball spins out”! Di kontak manakah saklar harus diposisikan? k. Jika gaya magnet yang dirasakan bola melebihi suatu nilai kritis tertentu, bola akan lepas kontak dari permukaan dinding bagian dalam lubang. Tentukan besar ggl baterai ($𝜖$$c$ ) untuk kasus ini! Bandingkan $𝜖$$c$ dan $𝜖_{0}$ , apa kesimpulan fisis yang dapat diambil? Petunjuk: $\bullet$ $\vec{}$ $\vec{}$$\vec{}$ terhadap waktu adalah $d$$A$ = Turunan suatu vektor $A$ yang dapat berputar dengan kecepatan sudut konstan $\vec{}$$\Omega$ $d$$t$ $\vec{}$$\Omega$ $\vec{}$$\vec{}$ $\times$ $A$. $\bullet$ $\vec{}$$\vec{}$ yang bekerja pada suatu benda tegar bermassa $m$ dan bermuatan $Q$ dengan Torsi akibat medan magnet $B$ $Q$ $\vec{}$$L$ $\times$ $B$ $\vec{}$$\vec{}$. momentum sudut $\vec{}$$L$ adalah $\upsilon$$B$ = 2$m$ Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj