Skyhook

Seiring berkembangnya jaman, wisata luar angkasa semakin menarik dan terjangkau. Pada soal ini, kita akan membahas ide fiktif sains (science fiction) yang semakin memungkinkan seiring perkembangan teknologi. Skyhook (“pengait langit”) merupakan struktur kabel yang tergantung secara vertikal di luar angkasa. Pengait langit ini memiliki kemiripan dengan space elevator, namun jauh matang secara teknologi dalam hal kekuatan material kabel dan teknis pembangunannya. Struktur skyhook ini memiliki 3 pangkalan yang terdiri dari Base A, Hotel, dan Base B yang dihubungkan dengan kabel sepanjang $\ell$ secara simetris. Pusat massa sistem yang terletak di Hotel memiliki tinggi $h$ dari permukaan bumi. Struktur ini ber-revolusi terhadap Bumi dengan kecepatan sudut $𝜔$, dan stabil secara vertikal dari permukaan Bumi, sehingga kecepatan di suatu titik pada skyhook adalah $v$ = $𝜔$$r$, dengan $r$ adalah jarak titik dari pusat Bumi. Percepatan gravitasi pada permukaan Bumi dan radius Bumi adalah $R$. (a) Struktur tersebut memiliki orbit melingkar. Carilah kecepatan sudut struktur $𝜔$ dan kecepatan orbit Base A, $v$$B$$A$ ! Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. Skyhook memiliki misi untuk membuat penerbangan ke low-earth orbit (LEO) lebih ekonomis. Turis yang ingin mengorbit Bumi di Hotel dapat menaiki roket menuju Base A dengan energi lebih rendah dan menaiki elevator (lift) menuju Hotel. Parameter yang sering digunakan pada dinamika penerbangan roket adalah $\Delta$$v$ (Delta-v) yang merupakan impuls (atau perubahan momentum) per satuan massa roket. Untuk mendapatkan gambaran kasar atas potensi skyhook, pada soal-soal berikut ini kita asumsikan bahwa impuls hanya diberikan pada awal peluncuran roket, dan kita abaikan dinamika bentuk lintasan roket, sehingga analisa yang dilakukan terbatas pada anggaran energi (energy budget) saja. Abaikan juga gesekan udara dan rotasi Bumi. Untuk memudahkan perhitungan numerik, gunakan nilai $g$ $g = 10$ m/s$^2$ , $R$ = 6,4 $\times$ 106 m, $h$ = 1,6 $\times$ 106 m, dan $\ell$ = 2,0 $\times$ 106 m (sekitar 2 kali panjang Pulau Jawa). (b) Jika tidak ada skyhook, roket memerlukan $\Delta$$v$$L$$E$$O$ untuk mencapai LEO (orbit Hotel). Dengan adanya skyhook, roket hanya memerlukan $\Delta$$v$$B$$A$ untuk mencapai Base A. Dengan menggunakan pendekatan $\ell$ $\ll$ ($R$ + $h$), kedua nilai tersebut memiliki hubungan: 2 2 $\Delta$$v$$B$$A$ = $\Delta$$v$$L$$E$$O$ $-$ $A$$\ell$. Cari bentuk $A$, dan nyatakan dalam $g$, $R$, dan $h$! Hitung juga nilai numerik $\Delta$$v$$L$$E$$O$ dan $\Delta$$v$$B$$A$ , dan nyatakan dalam satuan [m/s]! (c) Untuk mendapatkan $\Delta$$v$ tersebut, roket perlu melontarkan bahan bakar dengan massa $m$$B$$B$ . Bahan bakar dan mesin ditampung dalam struktur bermassa $m$$S$$T$ . Rasio penampungan bahan bakar adalah $\epsilon$ = $m$$S$$T$ /($m$$S$$T$ + $m$$B$$B$ ), dan untuk roket modern rasio ini berkisar 0,1. Menurut persamaan roket ideal: $\Delta$$v$ $e$ $v$$e$ = $m_{0}$ = $\lambda$, $m$$f$ dimana $v$$e$ adalah kecepatan efektif lontaran bahan bakar, $m_{0}$ = $m$$S$$T$ + $m$$B$$B$ + $m$$P$$L$ adalah massa awal roket, $m$$f$ = $m$$S$$T$ + $m$$P$$L$ adalah massa akhir roket, dan $m$$P$$L$ adalah massa muatan (payload) roket. Cari rasio muatan roket $\xi_{1}$ = $m$$P$$L$ /$m_{0}$, dan nyatakan dalam $\epsilon$ dan $\lambda$! (d) Dengan $v$$e$ = 3500 m/s dan $\Delta$$v$ dari soal (b), kita dapat $\lambda$$L$$E$$O$ $\approx$ 12,4 $\approx$ (3,5)2 dan $\lambda$$B$$A$ $\approx$ 7,8 $\approx$ (2,8)2 . Tunjukkan bahwa Base A dapat dicapai dengan satu roket saja (single-stage), namun LEO hanya dapat dicapai dengan dua roket yang diserikan (double-stage)! Anggap nilai $\epsilon$ = 0,1. Cari juga rasio muatan untuk roket berseri dua $\xi_{2}$ = $m$$P$$L$ /$m_{0}$ dengan asumsi $\Delta$$v$ = $\Delta$$v_{1}$ + $\Delta$$v_{2}$ dan $\Delta$$v_{1}$ = $\Delta$$v_{2}$, dimana $\Delta$$v_{1}$ dan $\Delta$$v_{2}$ adalah $\Delta$$v$ dari masing-masing bagian/stage roket! (e) Setelah sampai di Base A, turis melanjutkan perjalanan ke Hotel dengan menaiki lift berkecepatan konstan $v$$l$ . Carilah vektor percepatan yang dirasakan turis $a$($t$)! Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, $\ell$, $v$$l$ , dan $t$. Gunakan pendekatan $\ell$ $\ll$ ($R$ + $h$). Petunjuk: percepatan fiktif yang dirasakan oleh turis adalah $a$$f$ = $𝜔_{2}$ $r$$\hat{i}$ $-$ 2$𝜔$ $\vec{}$ $\times$ $v$$r$ . (f) Hitung total energi yang dibutuhkan lift untuk mengangkat massa $m$$P$$L$ dari Base A ke Hotel! Nyatakan jawaban Anda dalam $m$$P$$L$ , $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. Selain dari Base A dan Hotel, Base B juga bisa digunakan sebagai tempat peluncuran roket ke Bulan, Mars, atau lebih jauh. Uniknya, jika $\ell$ sangat panjang, $\Delta$$v$$B$$B$ yang dibutuhkan untuk keluar dari gravitasi Bumi sangat kecil, sehingga dapat menggerakkan kegiatan eksplorasi bulan dan eksplorasi antar planet. (g) Cari $\Delta$$v$$B$$B$ yang dibutuhkan untuk lepas dari gravitasi Bumi. Karena $\ell$ mungkin sangat panjang, jangan lakukan pendekatan. Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. (h) Carilah panjang $\ell$ supaya $\Delta$$v$$B$$B$ = 0! Nyatakan jawaban Anda dalam $R$ dan $h$.  a. Struktur tersebut memiliki orbit melingkar. Carilah kecepatan sudut struktur $𝜔$ dan kecepatan orbit Base A, $v$$B$$A$ ! Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. Skyhook memiliki misi untuk membuat penerbangan ke low-earth orbit (LEO) lebih ekonomis. Turis yang ingin mengorbit Bumi di Hotel dapat menaiki roket menuju Base A dengan energi lebih rendah dan menaiki elevator (lift) menuju Hotel. Parameter yang sering digunakan pada dinamika penerbangan roket adalah $\Delta$$v$ (Delta-v) yang merupakan impuls (atau perubahan momentum) per satuan massa roket. Untuk mendapatkan gambaran kasar atas potensi skyhook, pada soal-soal berikut ini kita asumsikan bahwa impuls hanya diberikan pada awal peluncuran roket, dan kita abaikan dinamika bentuk lintasan roket, sehingga analisa yang dilakukan terbatas pada anggaran energi (energy budget) saja. Abaikan juga gesekan udara dan rotasi Bumi. Untuk memudahkan perhitungan numerik, gunakan nilai $g$ $g = 10$ m/s$^2$ , $R$ = 6,4 $\times$ 106 m, $h$ = 1,6 $\times$ 106 m, dan $\ell$ = 2,0 $\times$ 106 m (sekitar 2 kali panjang Pulau Jawa). b. Jika tidak ada skyhook, roket memerlukan $\Delta$$v$$L$$E$$O$ untuk mencapai LEO (orbit Hotel). Dengan adanya skyhook, roket hanya memerlukan $\Delta$$v$$B$$A$ untuk mencapai Base A. Dengan menggunakan pendekatan $\ell$ $\ll$ ($R$ + $h$), kedua nilai tersebut memiliki hubungan: 2 2 $\Delta$$v$$B$$A$ = $\Delta$$v$$L$$E$$O$ $-$ $A$$\ell$. Cari bentuk $A$, dan nyatakan dalam $g$, $R$, dan $h$! Hitung juga nilai numerik $\Delta$$v$$L$$E$$O$ dan $\Delta$$v$$B$$A$ , dan nyatakan dalam satuan [m/s]! c. Untuk mendapatkan $\Delta$$v$ tersebut, roket perlu melontarkan bahan bakar dengan massa $m$$B$$B$ . Bahan bakar dan mesin ditampung dalam struktur bermassa $m$$S$$T$ . Rasio penampungan bahan bakar adalah $\epsilon$ = $m$$S$$T$ /($m$$S$$T$ + $m$$B$$B$ ), dan untuk roket modern rasio ini berkisar 0,1. Menurut persamaan roket ideal: $\Delta$$v$ $e$ $v$$e$ = $m_{0}$ = $\lambda$, $m$$f$ dimana $v$$e$ adalah kecepatan efektif lontaran bahan bakar, $m_{0}$ = $m$$S$$T$ + $m$$B$$B$ + $m$$P$$L$ adalah massa awal roket, $m$$f$ = $m$$S$$T$ + $m$$P$$L$ adalah massa akhir roket, dan $m$$P$$L$ adalah massa muatan (payload) roket. Cari rasio muatan roket $\xi_{1}$ = $m$$P$$L$ /$m_{0}$, dan nyatakan dalam $\epsilon$ dan $\lambda$! d. Dengan $v$$e$ = 3500 m/s dan $\Delta$$v$ dari soal (b), kita dapat $\lambda$$L$$E$$O$ $\approx$ 12,4 $\approx$ (3,5)2 dan $\lambda$$B$$A$ $\approx$ 7,8 $\approx$ (2,8)2 . Tunjukkan bahwa Base A dapat dicapai dengan satu roket saja (single-stage), namun LEO hanya dapat dicapai dengan dua roket yang diserikan (double-stage)! Anggap nilai $\epsilon$ = 0,1. Cari juga rasio muatan untuk roket berseri dua $\xi_{2}$ = $m$$P$$L$ /$m_{0}$ dengan asumsi $\Delta$$v$ = $\Delta$$v_{1}$ + $\Delta$$v_{2}$ dan $\Delta$$v_{1}$ = $\Delta$$v_{2}$, dimana $\Delta$$v_{1}$ dan $\Delta$$v_{2}$ adalah $\Delta$$v$ dari masing-masing bagian/stage roket! e. Setelah sampai di Base A, turis melanjutkan perjalanan ke Hotel dengan menaiki lift berkecepatan konstan $v$$l$ . Carilah vektor percepatan yang dirasakan turis $a$($t$)! Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, $\ell$, $v$$l$ , dan $t$. Gunakan pendekatan $\ell$ $\ll$ ($R$ + $h$). Petunjuk: percepatan fiktif yang dirasakan oleh turis adalah $a$$f$ = $𝜔_{2}$ $r$$\hat{i}$ $-$ 2$𝜔$ $\vec{}$ $\times$ $v$$r$ . f. Hitung total energi yang dibutuhkan lift untuk mengangkat massa $m$$P$$L$ dari Base A ke Hotel! Nyatakan jawaban Anda dalam $m$$P$$L$ , $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. Selain dari Base A dan Hotel, Base B juga bisa digunakan sebagai tempat peluncuran roket ke Bulan, Mars, atau lebih jauh. Uniknya, jika $\ell$ sangat panjang, $\Delta$$v$$B$$B$ yang dibutuhkan untuk keluar dari gravitasi Bumi sangat kecil, sehingga dapat menggerakkan kegiatan eksplorasi bulan dan eksplorasi antar planet. g. Cari $\Delta$$v$$B$$B$ yang dibutuhkan untuk lepas dari gravitasi Bumi. Karena $\ell$ mungkin sangat panjang, jangan lakukan pendekatan. Nyatakan jawaban Anda dalam $g$, $R$, $h$, dan $\ell$. h. Carilah panjang $\ell$ supaya $\Delta$$v$$B$$B$ = 0! Nyatakan jawaban Anda dalam $R$ dan $h$.