Bola di Atas Papan Berputar

Sebuah bola isolator berjari-jari $R$ diletakkan di atas papan horizontal berbentuk elips yang diputar dengan kecepatan sudut konstan $\Omega$ ke arah atas pada sumbu yang tegak lurus melalui pusat elips. Bola memiliki fungsi kerapatan massa dan muatan listrik per satuan volume masing-masing $\rho$$m$ = $\rho_{0}$$m$ (1 $-$ $r$/$R$)2 dan $\rho$$q$ = $\rho_{0}$$q$ $r$/$R$, dimana $\rho_{0}$$m$ dan $\rho_{0}$$q$ adalah konstanta serta $r$ adalah jarak dari pusat massa bola. Papan merupakan isolator dan tidak memiliki muatan listrik serta memiliki panjang sumbu semi mayor sebesar $a$. Diketahui daerah sekitar bola dan papan memiliki percepatan gravitasi adalah $g$ serta permisivitas dan permeabilitas masing-masing sebesar $𝜖_{0}$ dan $\mu_{0}$ . Ambil pusat elips sebagai titik origin dan arah positif koordinat sesuai gambar di bawah, mula-mula bola berada pada posisi ($r_{0}$ , 0) dan memiliki kecepatan (0, $-$$v_{0}$ ). (a) Tentukan muatan listrik dan momen inersia bola terhadap pusat massanya! (b) Asumsikan terdapat gesekan yang sangat besar antara bola dan papan. Tentukan persamaan lintasan bola sebagai fungsi waktu, $x$($t$) dan $y$($t$)! (c) Tentukan vektor medan magnet yang terjadi akibat gerakan bola pada titik $P$ yang berjarak $z$ $\gg$ $R$ di atas pusat lintasan bola! (d) Tentukan nilai minimum koefisien gesek statis antara bola dan papan agar bola tidak slip selama gerakannya! (e) Untuk selanjutnya, kecepatan awal bola diganti menjadi (0, $v_{0}$ ), tentukan bentuk lintasan bola sekarang! (f) Sekarang gunakan nilai $v_{0}$ = 4$\Omega$$r_{0}$ /25$v_{0}$, tentukan syarat eksentrisitas papan $𝜖$ agar bola tidak jatuh dari papan! (g) Khusus pada soal bagian ini, ambil nilai $a$ = 1.25$r_{0}$ dan eksentrisitas papan $𝜖$ = 0.8, sehingga bola jatuh dari papan. Tentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh dari papan! Sekarang tinjau sebuah cakram tipis horizontal berjari-jari $c$ yang pusatnya berada satu sumbu putar dengan papan pada jarak $d$ di atas papan. Cakram ini diputar dengan kecepatan sudut konstan $𝜔$ yang arahnya sama dengan $\Omega$, namun dengan nilai yang jauh lebih kecil. Cakram bersifat non kapasitif dan memiliki rapat massa seragam serta hanya dapat berotasi terhadap pusatnya. Gunakan nilai koefisien gesek statis sebesar dua kali lipat koefisien gesek minimum yang sudah didapatkan sebelumnya. (h) Asumsikan nilai $c$ $\ll$ $d$ dan $c$ $\ll$ $a$. Tentukan beda potensial antara pusat dan tepi cakram! Manakah yang memiliki potensial lebih tinggi? (i) Sekarang asumsikan $c$ $\ll$ $d$ serta cakram dianggap konduktor yang dibumikan, tentukan syarat dari $\rho_{0}$$q$ agar bola tidak lepas dari papan! (j) Tentukan syarat dari $\rho_{0}$$q$ agar bola tetap tidak slip! Jelaskan makna fisis dari nilai ini! Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj  a. Tentukan muatan listrik dan momen inersia bola terhadap pusat massanya! b. Asumsikan terdapat gesekan yang sangat besar antara bola dan papan. Tentukan persamaan lintasan bola sebagai fungsi waktu, $x$($t$) dan $y$($t$)! c. Tentukan vektor medan magnet yang terjadi akibat gerakan bola pada titik $P$ yang berjarak $z$ $\gg$ $R$ di atas pusat lintasan bola! d. Tentukan nilai minimum koefisien gesek statis antara bola dan papan agar bola tidak slip selama gerakannya! e. Untuk selanjutnya, kecepatan awal bola diganti menjadi (0, $v_{0}$ ), tentukan bentuk lintasan bola sekarang! f. Sekarang gunakan nilai $v_{0}$ = 4$\Omega$$r_{0}$ /25$v_{0}$, tentukan syarat eksentrisitas papan $𝜖$ agar bola tidak jatuh dari papan! g. Khusus pada soal bagian ini, ambil nilai $a$ = 1.25$r_{0}$ dan eksentrisitas papan $𝜖$ = 0.8, sehingga bola jatuh dari papan. Tentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh dari papan! Sekarang tinjau sebuah cakram tipis horizontal berjari-jari $c$ yang pusatnya berada satu sumbu putar dengan papan pada jarak $d$ di atas papan. Cakram ini diputar dengan kecepatan sudut konstan $𝜔$ yang arahnya sama dengan $\Omega$, namun dengan nilai yang jauh lebih kecil. Cakram bersifat non kapasitif dan memiliki rapat massa seragam serta hanya dapat berotasi terhadap pusatnya. Gunakan nilai koefisien gesek statis sebesar dua kali lipat koefisien gesek minimum yang sudah didapatkan sebelumnya. h. Asumsikan nilai $c$ $\ll$ $d$ dan $c$ $\ll$ $a$. Tentukan beda potensial antara pusat dan tepi cakram! Manakah yang memiliki potensial lebih tinggi? i. Sekarang asumsikan $c$ $\ll$ $d$ serta cakram dianggap konduktor yang dibumikan, tentukan syarat dari $\rho_{0}$$q$ agar bola tidak lepas dari papan! j. Tentukan syarat dari $\rho_{0}$$q$ agar bola tetap tidak slip! Jelaskan makna fisis dari nilai ini! Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj