Waktu Jatuh

Sebuah benda bermassa $m$ mula-mula berada pada ketinggian $h$ di atas permukaan bumi yang bermassa $M$ dan berjarijari $R$. Asumsikan bahwa $m$ $\ll$ $M$, namun untuk sementara $h$ tidaklah sangat kecil dibandingkan dengan $R$. Benda tersebut kemudian diberi kecepatan awal sebesar $v_{0}$ , dengan arah kecepatan awal tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan antara benda tersebut dengan pusat bumi. Konstanta gravitasi universal adalah $G$ = 6.67 $\times$ 10$-$11 kg$-$1 m3 s$-$2. Abaikan rotasi bumi pada sumbunya, maupun pengaruh atmosfer bumi pada gerak benda. (a) Jika benda tersebut dapat bergerak mengitari bumi secara periodik tanpa pernah jatuh ke permukaan bumi, tentukan syarat $v_{0}$ , dinyatakan dalam besaran-besaran di atas! (b) Misalnya kecepatan awal yang diberikan pada benda tersebut dari ketinggian $h$ adalah $v_{1}$ (yang relatif lebih kecil dari orde besar $v_{0}$ ) dan menyebabkan benda tersebut akhirnya jatuh ke tanah. Saat benda menyentuh tanah, tentukan sudut antara arah kecepatan saat itu dengan permukaan tanah. Tentukan pula waktu yang dibutuhkan dari saat awal dilepaskan hingga menyentuh tanah. (c) Untuk kasus (a), tentukan nilai numerik untuk batasan nilai $v_{0}$ (bersatuan m/s), jika $R$ = 6371 km, $h$ = 585 km, dan $M$ = 5.97 $\times$ 1024 kg! (d) Dengan menggunakan rumus yang diperoleh pada (b), tentukan waktu untuk dua keadaan: (i) $h$ = 300 km dan $v_{1}$ = 6000 m/s, dan (ii) $h$ = 10 m dan $v_{1}$ = 10 m/s. Tunjukkan bahwa rumus (b) untuk keadaan (ii) ini jika diambil limit untuk $v_{1}$ dan $h$ kecil, maka bentuk rumusnya akan kembali ke rumus pada gerak peluru berkecepatan rendah di dekat permukaan bumi dengan percepatan gravitasi $g$! a. Jika benda tersebut dapat bergerak mengitari bumi secara periodik tanpa pernah jatuh ke permukaan bumi, tentukan syarat $v_{0}$ , dinyatakan dalam besaran-besaran di atas! b. Misalnya kecepatan awal yang diberikan pada benda tersebut dari ketinggian $h$ adalah $v_{1}$ (yang relatif lebih kecil dari orde besar $v_{0}$ ) dan menyebabkan benda tersebut akhirnya jatuh ke tanah. Saat benda menyentuh tanah, tentukan sudut antara arah kecepatan saat itu dengan permukaan tanah. Tentukan pula waktu yang dibutuhkan dari saat awal dilepaskan hingga menyentuh tanah. c. Untuk kasus (a), tentukan nilai numerik untuk batasan nilai $v_{0}$ (bersatuan m/s), jika $R$ = 6371 km, $h$ = 585 km, dan $M$ = 5.97 $\times$ 1024 kg! d. Dengan menggunakan rumus yang diperoleh pada (b), tentukan waktu untuk dua keadaan: (i) $h$ = 300 km dan $v_{1}$ = 6000 m/s, dan (ii) $h$ = 10 m dan $v_{1}$ = 10 m/s. Tunjukkan bahwa rumus (b) untuk keadaan (ii) ini jika diambil limit untuk $v_{1}$ dan $h$ kecil, maka bentuk rumusnya akan kembali ke rumus pada gerak peluru berkecepatan rendah di dekat permukaan bumi dengan percepatan gravitasi $g$!