OSN-2024-02

Gerak Presesi Orbit Merkurius

OSN · 2024 · Mekanika

Salah satu fenomena yang telah banyak diketahui oleh para ilmuwan namun gagal dimodelkan oleh teori gravitasi Newton adalah fenomena presesi Merkurius. Berbeda dengan planet lain yang berevolusi pada orbit elips yang hampir berupa lingkaran, Merkurius berevolusi dengan orbit elips yang sumbu mayornya ikut berotasi terhadap pusat revolusinya yang berada di sekitar pusat Matahari. Pergerakan ini membuat Merkurius kembali ke jarak terdekatnya dengan Matahari tanpa perlu menyelesaikan satu revolusinya sehingga terdapat selisih sudut awal dan sudut akhir untuk setiap satu perioda revolusi. Terdapat banyak faktor yang mempengaruhi besarnya selisih sudut ini, dan salah satu faktor utamanya adalah adanya koreksi dari teori relativitas umum Einstein. Bentuk potensial gravitasi per masa terkoreksi untuk suatu benda bermassa m yang bergerak di sekitar objek bermassa M dapat dinyatakan dalam bentuk: V (r) = - G M G M L_{2} - 2 3 , r c r dengan L = r_{2} ϕ ˙ adalah momentum sudut per massa dari benda yang merasakan potensial tersebut, ϕ ˙ = d ϕ / d t, dan c adalah kelajuan cahaya dalam vakum. Kuantitas G adalah konstanta universal gravitasi. Tampak bahwa potensial gravitasi tidak lagi merupakan besaran yang hanya bergantung pada sumber. Selain itu, suku koreksi tersebut berbanding terbalik dengan jarak pangkat tiga sehingga bersifat lemah pada jarak yang jauh, dan sebaliknya, bersifat kuat pada jarak yang cukup dekat. Hal ini dapat menjelaskan mengapa koreksi relativitas umum hanya dapat diamati secara signifikan pada Merkurius dan bukan planet lain di tata surya.

(a)
$Tuliskan energi total per massa, ϵ, dari planet Merkurius jika M adalah massa Matahari, dinyatakan dalam M, r ˙, r, L, dengan r ˙ = d r / d t!$
(b)
$Untuk menyederhanakan permasalahan, diperkenalkan besaran x = L_{2} / G M r sehingga persamaan energi total per massa Merkurius pada bagian sebelumnya dapat dituliskan menjadi d x_{2} ( ) + A x + B x_{2} + C x_{3} = 0. d ϕ Tentukanlah ekspresi dari A, B, C, dan D dinyatakan dalam L, M, G, dan ϵ! Persamaan lintasan Merkurius dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial x terhadap ϕ . Dengan demikian akan dicari terlebih dahulu persamaan diferensial tersebut melalui kekekalan energi.$
(c)
$Tuliskanlah persamaan diferensial orde dua x terhadap ϕ, d_{2} ϕ / d x_{2}!$
(d)
$Asumsikan bahwa solusi dari x dapat dituliskan menjadi x = x_{0} + x_{1}, di mana x_{0} adalah solusi tanpa koreksi relativitas umum. Tuliskanlah persamaan diferensial untuk x_{0} beserta solusinya! Diketahui bahwa x_{0} (0) = 1 + e dan x_{0} (π) = 1 - e dengan e adalah eksentrisitas orbit Merkurius. Selanjutnya, persamaan diferensial untuk x_{1}, didapatkan dengan memisahkan bagian tanpa gangguan, x_{0}, dari persamaan diferensial untuk x, dan mengasumsikan bahwa x_{2} \approx x_{02} pada suku koreksi relativitas umum sehingga x_{1} memenuhi d_{2} x_{1} 3 G_{2} M_{2} 2 + x = x . 1 d ϕ_{2} c_{2} L_{2} 0$
(e)
$Dengan menggunakan solusi x_{0} yang telah didapat sebelumnya, tentukan nilai dari k_{1}, k_{2}, dan k k_{3} dari solusi berbentuk x_{1} = (3 G_{2} M_{2} / c_{2} L_{2})[k_{1} + k_{2} ϕ sin ϕ + k_{3} cos(2 ϕ)]! Dari ketiga suku dalam solusi x_{1} di atas, yang dapat memunculkan selisih sudut hanyalah suku kedua karena suku pertama hanya berupa konstanta sedangkan suku ketiga bersifat periodik. Dengan demikian solusi yang berkontribusi pada gerak presesi ini diberikan sebagai x \approx x_{0} + 3 G_{2} M_{2} k ϕ sin ϕ . c_{2} L_{2} 2$
(f)
$Selanjutnya, tinjau solusi lintasan elips dengan pergeseran, diberikan sebagai x e l i p s = 1 + e cos((1 - η) ϕ) dengan η sangat kecil. Perkirakanlah nilai η dengan membandingkan x e l i p s dan solusi x yang telah didapat sebelumnya! Nyatakan dalam L, M, G, dan e!$
(g)
$Tentukanlah selisih sudut, δ ϕ, yang terjadi setiap satu kali revolusi Merkurius akibat efek relativistik tersebut!$

Halaman ini menampilkan pernyataan soal. Gunakan Bank Soal untuk memilih soal lain atau buka AI Tutor untuk membahas soal ini.

Tanya AI tutor Buka pembahasan di LabFisika Bank soal