Gerak Presesi Orbit Merkurius

Salah satu fenomena yang telah banyak diketahui oleh para ilmuwan namun gagal dimodelkan oleh teori gravitasi Newton adalah fenomena presesi Merkurius. Berbeda dengan planet lain yang berevolusi pada orbit elips yang hampir berupa lingkaran, Merkurius berevolusi dengan orbit elips yang sumbu mayornya ikut berotasi terhadap pusat revolusinya yang berada di sekitar pusat Matahari. Pergerakan ini membuat Merkurius kembali ke jarak terdekatnya dengan Matahari tanpa perlu menyelesaikan satu revolusinya sehingga terdapat selisih sudut awal dan sudut akhir untuk setiap satu perioda revolusi. Terdapat banyak faktor yang mempengaruhi besarnya selisih sudut ini, dan salah satu faktor utamanya adalah adanya koreksi dari teori relativitas umum Einstein. Bentuk potensial gravitasi per masa terkoreksi untuk suatu benda bermassa $m$ yang bergerak di sekitar objek bermassa $M$ dapat dinyatakan dalam bentuk: $V$($r$) = $-$ $G$$M$ $G$$M$$L_{2}$ $-$ 2 3 , $r$ $c$ $r$ dengan $L$ = $r_{2}$ $\dot{𝜙}$ adalah momentum sudut per massa dari benda yang merasakan potensial tersebut, $\dot{𝜙}$ = $d$$𝜙$/$d$$t$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam vakum. Kuantitas $G$ adalah konstanta universal gravitasi. Tampak bahwa potensial gravitasi tidak lagi merupakan besaran yang hanya bergantung pada sumber. Selain itu, suku koreksi tersebut berbanding terbalik dengan jarak pangkat tiga sehingga bersifat lemah pada jarak yang jauh, dan sebaliknya, bersifat kuat pada jarak yang cukup dekat. Hal ini dapat menjelaskan mengapa koreksi relativitas umum hanya dapat diamati secara signifikan pada Merkurius dan bukan planet lain di tata surya. (a) Tuliskan energi total per massa, $\epsilon$, dari planet Merkurius jika $M$ adalah massa Matahari, dinyatakan dalam $M$, $\dot{r}$ , $r$, $L$, dengan $\dot{r}$ = $d$$r$/$d$$t$! (b) Untuk menyederhanakan permasalahan, diperkenalkan besaran $x$ = $L_{2}$ /$G$$M$$r$ sehingga persamaan energi total per massa Merkurius pada bagian sebelumnya dapat dituliskan menjadi $d$$x_{2}$ ( ) + $A$$x$ + $B$$x_{2}$ + $C$$x_{3}$ = 0. $d$$𝜙$ Tentukanlah ekspresi dari $A$, $B$, $C$, dan $D$ dinyatakan dalam $L$, $M$, $G$, dan $\epsilon$! Persamaan lintasan Merkurius dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial $x$ terhadap $𝜙$. Dengan demikian akan dicari terlebih dahulu persamaan diferensial tersebut melalui kekekalan energi. (c) Tuliskanlah persamaan diferensial orde dua $x$ terhadap $𝜙$, $d_{2}$ $𝜙$/$d$$x_{2}$ ! (d) Asumsikan bahwa solusi dari x dapat dituliskan menjadi $x$ = $x_{0}$ + $x_{1}$ , di mana $x_{0}$ adalah solusi tanpa koreksi relativitas umum. Tuliskanlah persamaan diferensial untuk $x_{0}$ beserta solusinya! Diketahui bahwa $x_{0}$ (0) = 1 + $e$ dan $x_{0}$ ($\pi$) = 1 $-$ $e$ dengan $e$ adalah eksentrisitas orbit Merkurius. Selanjutnya, persamaan diferensial untuk $x_{1}$ , didapatkan dengan memisahkan bagian tanpa gangguan, $x_{0}$ , dari persamaan diferensial untuk $x$, dan mengasumsikan bahwa $x_{2}$ $\approx$ $x_{02}$ pada suku koreksi relativitas umum sehingga $x_{1}$ memenuhi $d_{2}$ $x_{1}$ 3$G_{2}$ $M_{2}$ 2 + $x$ = $x$ . 1 $d$$𝜙$ 2 $c_{2}$ $L_{2}$ 0 (e) Dengan menggunakan solusi $x_{0}$ yang telah didapat sebelumnya, tentukan nilai dari $k_{1}$ , $k_{2}$ , dan k$k_{3}$ dari solusi berbentuk $x_{1}$ = (3$G_{2}$ $M_{2}$ /$c_{2}$ $L_{2}$ )[$k_{1}$ + $k_{2}$ $𝜙$ sin $𝜙$ + $k_{3}$ cos(2$𝜙$)]! Dari ketiga suku dalam solusi $x_{1}$ di atas, yang dapat memunculkan selisih sudut hanyalah suku kedua karena suku pertama hanya berupa konstanta sedangkan suku ketiga bersifat periodik. Dengan demikian solusi yang berkontribusi pada gerak presesi ini diberikan sebagai $x$ $\approx$ $x_{0}$ + 3$G_{2}$ $M_{2}$ $k$ $𝜙$ sin $𝜙$. $c_{2}$ $L_{2}$ 2 (f) Selanjutnya, tinjau solusi lintasan elips dengan pergeseran, diberikan sebagai $x$$e$$l$$i$$p$$s$ = 1 + $e$ cos((1 $-$ $\eta$)$𝜙$) dengan $\eta$ sangat kecil. Perkirakanlah nilai $\eta$ dengan membandingkan $x$$e$$l$$i$$p$$s$ dan solusi $x$ yang telah didapat sebelumnya! Nyatakan dalam $L$, $M$, $G$, dan $e$! (g) Tentukanlah selisih sudut, $\delta$$𝜙$, yang terjadi setiap satu kali revolusi Merkurius akibat efek relativistik tersebut!    a. Tuliskan energi total per massa, $\epsilon$, dari planet Merkurius jika $M$ adalah massa Matahari, dinyatakan dalam $M$, $\dot{r}$ , $r$, $L$, dengan $\dot{r}$ = $d$$r$/$d$$t$! b. Untuk menyederhanakan permasalahan, diperkenalkan besaran $x$ = $L_{2}$ /$G$$M$$r$ sehingga persamaan energi total per massa Merkurius pada bagian sebelumnya dapat dituliskan menjadi $d$$x_{2}$ ( ) + $A$$x$ + $B$$x_{2}$ + $C$$x_{3}$ = 0. $d$$𝜙$ Tentukanlah ekspresi dari $A$, $B$, $C$, dan $D$ dinyatakan dalam $L$, $M$, $G$, dan $\epsilon$! Persamaan lintasan Merkurius dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial $x$ terhadap $𝜙$. Dengan demikian akan dicari terlebih dahulu persamaan diferensial tersebut melalui kekekalan energi. c. Tuliskanlah persamaan diferensial orde dua $x$ terhadap $𝜙$, $d_{2}$ $𝜙$/$d$$x_{2}$ ! d. Asumsikan bahwa solusi dari x dapat dituliskan menjadi $x$ = $x_{0}$ + $x_{1}$ , di mana $x_{0}$ adalah solusi tanpa koreksi relativitas umum. Tuliskanlah persamaan diferensial untuk $x_{0}$ beserta solusinya! Diketahui bahwa $x_{0}$ (0) = 1 + $e$ dan $x_{0}$ ($\pi$) = 1 $-$ $e$ dengan $e$ adalah eksentrisitas orbit Merkurius. Selanjutnya, persamaan diferensial untuk $x_{1}$ , didapatkan dengan memisahkan bagian tanpa gangguan, $x_{0}$ , dari persamaan diferensial untuk $x$, dan mengasumsikan bahwa $x_{2}$ $\approx$ $x_{02}$ pada suku koreksi relativitas umum sehingga $x_{1}$ memenuhi $d_{2}$ $x_{1}$ 3$G_{2}$ $M_{2}$ 2 + $x$ = $x$ . 1 $d$$𝜙$ 2 $c_{2}$ $L_{2}$ 0 e. Dengan menggunakan solusi $x_{0}$ yang telah didapat sebelumnya, tentukan nilai dari $k_{1}$ , $k_{2}$ , dan k$k_{3}$ dari solusi berbentuk $x_{1}$ = (3$G_{2}$ $M_{2}$ /$c_{2}$ $L_{2}$ )[$k_{1}$ + $k_{2}$ $𝜙$ sin $𝜙$ + $k_{3}$ cos(2$𝜙$)]! Dari ketiga suku dalam solusi $x_{1}$ di atas, yang dapat memunculkan selisih sudut hanyalah suku kedua karena suku pertama hanya berupa konstanta sedangkan suku ketiga bersifat periodik. Dengan demikian solusi yang berkontribusi pada gerak presesi ini diberikan sebagai $x$ $\approx$ $x_{0}$ + 3$G_{2}$ $M_{2}$ $k$ $𝜙$ sin $𝜙$. $c_{2}$ $L_{2}$ 2 f. Selanjutnya, tinjau solusi lintasan elips dengan pergeseran, diberikan sebagai $x$$e$$l$$i$$p$$s$ = 1 + $e$ cos((1 $-$ $\eta$)$𝜙$) dengan $\eta$ sangat kecil. Perkirakanlah nilai $\eta$ dengan membandingkan $x$$e$$l$$i$$p$$s$ dan solusi $x$ yang telah didapat sebelumnya! Nyatakan dalam $L$, $M$, $G$, dan $e$! g. Tentukanlah selisih sudut, $\delta$$𝜙$, yang terjadi setiap satu kali revolusi Merkurius akibat efek relativistik tersebut!