Sistem Osilator

Tinjau sistem osilator sebagaimana ditunjukkan pada gambar. Kedua pegas yang terhubung dengan massa $M$ memiliki koefisien pegas sebesar $k$/2. Massa bandul di sebelah kiri adalah $m_{1}$ dan massa bandul di kanan adalah $m_{2}$ . Keduanya terhubung dengan massa $M$ melalui batang kaku yang dapat mengayun tanpa gesekan, dengan panjang $\ell$1 dan $\ell$2 seperti pada gambar. Seluruh massa bergerak bebas tanpa mengalami gesekan, massa $M$ berada di atas rel sehingga hanya dapat bergerak secara horizontal, dan kedua bandul mengalami gaya gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar $g$. Posisi $M$ dinyatakan sebagai $x$. (a) Tuliskan persamaan gerak ketiga benda dalam $x$, $\theta_{1}$ , dan $\theta_{2}$ dan besaran- besaran yang diketahui! Asumsikan bahwa $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ bernilai kecil sehingga aproksimasi sudut kecil dapat digunakan. (b) Selanjutnya, asumsikan panjang kedua bandul identik sehingga $\ell$1 = $\ell$2 = $\ell$. Tentukan persamaan diferensial 2 yang dipenuhi oleh $x$, $\theta_{1}$ , dan $\theta_{2}$ . Anda dapat menggunakan notasi $𝜔$$M$ = $k$/$M$ dan $𝜔$$\ell$2 = $g$/$\ell$ untuk menyederhanakan persamaan. (c) Tentukan frekuensi mode-mode normal dari sistem di atas! (d) Apa yang terjadi jika $M$ sangat besar, sehingga $m_{1}$ dan $m_{2}$ dapat diabaikan? (Asumsi tersebut hanya digunakan pada poin ini dan tidak digunakan di poin-poin selanjutnya.) Selanjutnya, kita akan memodifikasi sistem umum ideal di atas dengan mengambil limit tertentu atau menambahkan pengaruh lingkungan. (e) Tinjau kasus dimana pegas dihilangkan ($k$ = 0) dan kedua bandul identik ($m_{1}$ = $m_{2}$ = $m$). Tuliskan persamaan gerak sistem baru ini dalam posisi relatif $\eta$$-$ = $\ell$($\theta_{2}$ $-$ $\theta_{1}$ )/2 dan $\eta$+ = $\ell$($\theta_{2}$ + $\theta_{1}$ )/2 ! Bagaimana gerak yang terjadi dalam sistem? Bagaimana pengaruh besar $M$ terhadap gerak bandul? (f) Tinjau kasus yang sama seperti bagian (e), tetapi massa $M$ mengalami gaya gesek udara sebesar $F$$d$ = $-$$b$$\dot{x}$ . Tuliskan persamaan diferensial untuk sistem ini dalam $x$, $\eta$$-$ , dan $\eta$+ ! (g) Sistem persamaan yang didapat pada bagian sebelumnya dapat direduksi menjadi $\eta$+ + $r_{2}$+ $\eta$ + + $r_{1}$+ $\dot{\eta}$ + + $r_{0}$+ $\eta$+ = 0, $\eta$$-$ + $r_{2}$+ $\eta$ $-$ + $r_{1}$+ $\dot{\eta}$ $-$ + $r_{0}$+ $\eta$$-$ = 0. Tentukanlah konstanta $r_{2}$+ , $r_{1}$+ , $r_{0}$+ , $r_{2}$$-$ , $r_{1}$$-$ , dan $r_{0}$$-$ ! (h) Pada keadaan tunak, $\eta$+ dapat diabaikan. Bagaimana solusi $\eta$+ dan $\eta$$-$ pada keadaan tunak?  a. Tuliskan persamaan gerak ketiga benda dalam $x$, $\theta_{1}$ , dan $\theta_{2}$ dan besaran- besaran yang diketahui! Asumsikan bahwa $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ bernilai kecil sehingga aproksimasi sudut kecil dapat digunakan. b. Selanjutnya, asumsikan panjang kedua bandul identik sehingga $\ell$1 = $\ell$2 = $\ell$. Tentukan persamaan diferensial 2 yang dipenuhi oleh $x$, $\theta_{1}$ , dan $\theta_{2}$ . Anda dapat menggunakan notasi $𝜔$$M$ = $k$/$M$ dan $𝜔$$\ell$2 = $g$/$\ell$ untuk menyederhanakan persamaan. c. Tentukan frekuensi mode-mode normal dari sistem di atas! d. Apa yang terjadi jika $M$ sangat besar, sehingga $m_{1}$ dan $m_{2}$ dapat diabaikan? (Asumsi tersebut hanya digunakan pada poin ini dan tidak digunakan di poin-poin selanjutnya.) Selanjutnya, kita akan memodifikasi sistem umum ideal di atas dengan mengambil limit tertentu atau menambahkan pengaruh lingkungan. e. Tinjau kasus dimana pegas dihilangkan ($k$ = 0) dan kedua bandul identik ($m_{1}$ = $m_{2}$ = $m$). Tuliskan persamaan gerak sistem baru ini dalam posisi relatif $\eta$$-$ = $\ell$($\theta_{2}$ $-$ $\theta_{1}$ )/2 dan $\eta$+ = $\ell$($\theta_{2}$ + $\theta_{1}$ )/2 ! Bagaimana gerak yang terjadi dalam sistem? Bagaimana pengaruh besar $M$ terhadap gerak bandul? f. Tinjau kasus yang sama seperti bagian (e), tetapi massa $M$ mengalami gaya gesek udara sebesar $F$$d$ = $-$$b$$\dot{x}$ . Tuliskan persamaan diferensial untuk sistem ini dalam $x$, $\eta$$-$ , dan $\eta$+ ! g. Sistem persamaan yang didapat pada bagian sebelumnya dapat direduksi menjadi $\eta$+ + $r_{2}$+ $\eta$ + + $r_{1}$+ $\dot{\eta}$ + + $r_{0}$+ $\eta$+ = 0, $\eta$$-$ + $r_{2}$+ $\eta$ $-$ + $r_{1}$+ $\dot{\eta}$ $-$ + $r_{0}$+ $\eta$$-$ = 0. Tentukanlah konstanta $r_{2}$+ , $r_{1}$+ , $r_{0}$+ , $r_{2}$$-$ , $r_{1}$$-$ , dan $r_{0}$$-$ ! h. Pada keadaan tunak, $\eta$+ dapat diabaikan. Bagaimana solusi $\eta$+ dan $\eta$$-$ pada keadaan tunak?