Gerak Presesi Dipol

Perhatikan suatu dumbel/barbel dengan massa identik, $m$, di kedua ujungnya, yang pusat massanya diletakkan di pusat koordinat seperti terlihat pada gambar! Kedua massa dianggap sebagai massa titik dan batang dumbel dengan panjang $d$ dianggap tidak bermassa. (a) Tentukan momen inersia dumbel terhadap sumbu rotasi $\hat{x}$, $\hat{y}$, dan $\hat{z}$ , yaitu $I$$x$$x$ , $I$$y$$y$ , dan $I$$z$$z$ ! (b) Selain momen inersia pada sumbu-sumbu utama di atas. Momen inersia juga memiliki komponen campuran $N$ yang didefinisikan sebagai $I$$x$$y$ = $I$$y$$x$ = $-$ $\sum$$N$ $k$=1 $m$$k$ $x$$k$ $y$$k$ , $I$$y$$z$ = $I$$z$$y$ = $-$ $\sum$$k$=1 $m$$k$ $y$$k$ $z$$k$ , dan $I$$z$$x$ = $I$$x$$z$ = $-$ $\sum$$N$ $k$=1 $m$$k$ $z$$k$ $x$$k$ . Tentukanlah komponen-komponen campuran dari momen inersia untuk sistem dumbel di atas! Tampak bahwa momen inersia total, $I$ , merupakan kuantitas bernilai matriks yang berbentuk $I$$x$$x$ $I$ = [$I$$y$$x$ $I$$z$$x$ $I$$x$$y$ $I$$y$$y$ $I$$z$$y$ $I$$x$$z$ $I$$y$$z$ ] $I$$z$$z$ Selanjutnya, diketahui bahwa kedua massa pada dumbel di atas juga memiliki muatan listrik yang identik, yaitu $q$. Sistem dua muatan seperti gambar di atas dikenal sebagai dipol listrik. Selanjutnya, dumbel akan disebut sebagai dipol. Dipol tersebut berotasi dengan vektor kecepatan sudut $\vec{}$$𝜔$ = $𝜔$($-$ cos $\theta$ cos $\chi$ , $-$ cos $\theta$ sin $\chi$ , sin $\theta$). (c) Momentum sudut, $J$, merupakan besaran vektor yang didefinisikan sebagai perkalian matriks $J$ = $I$ $\cdot$ $\vec{}$$𝜔$. Tentukanlah momentum sudut dari sistem dipol di atas! (d) Sistem dipol tersebut dikenai medan Listrik homogen $\vec{}$$E$ = $E_{0}$ $\hat{z}$ . Tentukan gaya total dan momen gaya total yang dirasakan oleh dipol! (e) Momentum sudut yang diberikan di atas menggambarkan gerak presesi dengan sudut $\theta$ = $\theta$$p$ , yang bernilai konstan. Tentukanlah frekuensi dari gerak presesi tersebut! (f) Gambarkan grafik $\theta$$p$ terhadap $E_{0}$ !   a. Tentukan momen inersia dumbel terhadap sumbu rotasi $\hat{x}$, $\hat{y}$, dan $\hat{z}$ , yaitu $I$$x$$x$ , $I$$y$$y$ , dan $I$$z$$z$ ! b. Selain momen inersia pada sumbu-sumbu utama di atas. Momen inersia juga memiliki komponen campuran $N$ yang didefinisikan sebagai $I$$x$$y$ = $I$$y$$x$ = $-$ $\sum$$N$ $k$=1 $m$$k$ $x$$k$ $y$$k$ , $I$$y$$z$ = $I$$z$$y$ = $-$ $\sum$$k$=1 $m$$k$ $y$$k$ $z$$k$ , dan $I$$z$$x$ = $I$$x$$z$ = $-$ $\sum$$N$ $k$=1 $m$$k$ $z$$k$ $x$$k$ . Tentukanlah komponen-komponen campuran dari momen inersia untuk sistem dumbel di atas! Tampak bahwa momen inersia total, $I$ , merupakan kuantitas bernilai matriks yang berbentuk $I$$x$$x$ $I$ = [$I$$y$$x$ $I$$z$$x$ $I$$x$$y$ $I$$y$$y$ $I$$z$$y$ $I$$x$$z$ $I$$y$$z$ ] $I$$z$$z$ Selanjutnya, diketahui bahwa kedua massa pada dumbel di atas juga memiliki muatan listrik yang identik, yaitu $q$. Sistem dua muatan seperti gambar di atas dikenal sebagai dipol listrik. Selanjutnya, dumbel akan disebut sebagai dipol. Dipol tersebut berotasi dengan vektor kecepatan sudut $\vec{}$$𝜔$ = $𝜔$($-$ cos $\theta$ cos $\chi$ , $-$ cos $\theta$ sin $\chi$ , sin $\theta$). c. Momentum sudut, $J$, merupakan besaran vektor yang didefinisikan sebagai perkalian matriks $J$ = $I$ $\cdot$ $\vec{}$$𝜔$. Tentukanlah momentum sudut dari sistem dipol di atas! d. Sistem dipol tersebut dikenai medan Listrik homogen $\vec{}$$E$ = $E_{0}$ $\hat{z}$ . Tentukan gaya total dan momen gaya total yang dirasakan oleh dipol! e. Momentum sudut yang diberikan di atas menggambarkan gerak presesi dengan sudut $\theta$ = $\theta$$p$ , yang bernilai konstan. Tentukanlah frekuensi dari gerak presesi tersebut! f. Gambarkan grafik $\theta$$p$ terhadap $E_{0}$ !