Penentuan Kecepatan Cahaya dari Pengamatan Satelit Jupiter (Metode Römer)

Dulu sebelum para ilmuwan berhasil menemukan kecepatan cahaya secara akurat, Römer seorang ahli astronomi Denmark telah mempelajari saat-saat dimana terjadi gerhana pada planet Jupiter. Ia mampu menentukan kecepatan cahaya dari pengamatan periode sebuah satelit yang mengelilingi planet Jupiter. Gambar menunjukkan orbit planet Bumi (E) mengelilingi matahari (S) dan salah satu satelit (M) mengelilingi planet Jupiter. Ia mengamati selang waktu antar pemunculan satelit M secara berurutan dari belakang Jupiter. Serangkaian pengamatan terhadap gerhana tersebut memungkinkan perhitungan yang akurat dari periode satelit M mengelilingi Jupiter. Periode yang teramati $T$ tergantung pada posisi relatif bumi terhadap garis SJ. Periode revolusi rata-rata adalah $T_{0}$ = 42 jam 28 menit 16 detik dan periode maksimum adalah $T_{0}$ + 15 detik. Orbit dari planet Bumi (E) mengelilingi matahari (S) dan satelit (M) mengelilingi Jupiter (J). Jarak rata-rata dari planet Bumi E ke matahari S adalah $R$$E$ = 149,6 $\times$ 106 km dan jarak maksimumnya $R$$E$ (maks) = 1,015$R$$E$ . Periode revolusi Bumi (bumi mengelilingi matahari) adalah 365 hari dan periode Jupiter adalah 11,9 tahun. Jarak dari satelit M ke planet Jupiter $R$$M$ = 422.000 km. (a) Berapa jarak Jupiter ke Matahari? (b) Gunakan kerangka acuan baru dimana Jupiter berada dalam posisi diam terhadap matahari (SJ). Tentukan kecepatan sudut bumi ($𝜔$) relatif terhadap kerangka acuan Matahari–Jupiter (SJ) ini. Hitunglah juga besar kecepatan atau laju bumi terhadap SJ. (c) Misalkan seorang pengamat melihat M muncul dari bayangan ketika posisi pengamat itu adalah $\theta$$k$ dan pemunculan berikut adalah pada saat $\theta$$k$+1 ($k$ = 1,2,3, $\ldots$), dari pengamat ini ia memperoleh periode revolusi yang tampak olehnya $T$ sebagai fungsi dari waktu pengamatan $t$. Variasi nilai $T$ ini adalah akibat dari variasi jarak Jupiter ke pengamat $d$ selama pengamatan. Carilah jarak $d$ tersebut sebagai fungsi dari $t$ seperti pada gambar. Lalu gunakan pendekatan. (d) Carilah hubungan $d$ dan $T$ . Plot (gambar grafik) $T$ sebagai fungsi $t$. Tentukan posisi bumi ketika ia mengamati periode maksimum, periode minimum, dan periode sebenarnya dari satelit M. (e) Tentukan besarnya kecepatan cahaya dari hasil di atas. (f) Jika massa bumi adalah 5,98 $\times$ 1024 kg dan 1 bulan adalah 27 hari 7 jam 3 menit, hitunglah massa planet Jupiter ini. Petunjuk: Pendekatan binomial adalah sebagai berikut (1 + $b$)1/2 $\approx$ 1 + $b$/2 untuk $b$ yang kecil. Diperlukan kalkulator, jika tidak ada kalkulator, pakai angka-angka pembulatan juga tidak terlalu disalahkan. Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj  a. Berapa jarak Jupiter ke Matahari? b. Gunakan kerangka acuan baru dimana Jupiter berada dalam posisi diam terhadap matahari (SJ). Tentukan kecepatan sudut bumi ($𝜔$) relatif terhadap kerangka acuan Matahari–Jupiter (SJ) ini. Hitunglah juga besar kecepatan atau laju bumi terhadap SJ. c. Misalkan seorang pengamat melihat M muncul dari bayangan ketika posisi pengamat itu adalah $\theta$$k$ dan pemunculan berikut adalah pada saat $\theta$$k$+1 ($k$ = 1,2,3, $\ldots$), dari pengamat ini ia memperoleh periode revolusi yang tampak olehnya $T$ sebagai fungsi dari waktu pengamatan $t$. Variasi nilai $T$ ini adalah akibat dari variasi jarak Jupiter ke pengamat $d$ selama pengamatan. Carilah jarak $d$ tersebut sebagai fungsi dari $t$ seperti pada gambar. Lalu gunakan pendekatan. d. Carilah hubungan $d$ dan $T$ . Plot (gambar grafik) $T$ sebagai fungsi $t$. Tentukan posisi bumi ketika ia mengamati periode maksimum, periode minimum, dan periode sebenarnya dari satelit M. e. Tentukan besarnya kecepatan cahaya dari hasil di atas. f. Jika massa bumi adalah 5,98 $\times$ 1024 kg dan 1 bulan adalah 27 hari 7 jam 3 menit, hitunglah massa planet Jupiter ini. Petunjuk: Pendekatan binomial adalah sebagai berikut (1 + $b$)1/2 $\approx$ 1 + $b$/2 untuk $b$ yang kecil. Diperlukan kalkulator, jika tidak ada kalkulator, pakai angka-angka pembulatan juga tidak terlalu disalahkan. Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj