Brachistochrone

Waktu pergerakan benda dari titik O ke A di bawah pengaruh percepatan gravitasi bumi $g$ akan bervariasi terhadap bentuk lintasan benda tersebut. Terdapat satu lintasan licin yang menyebabkan waktu pergerakan menjadi minimum, lintasan tersebut bernama brachistochrone. Lintasan ini memiliki fungsi kurva sebagai berikut: $x$ = $a$($\theta$ $-$ sin $\theta$), $y$ = $-$$a$(1 $-$ cos $\theta$), dimana $\theta$ merupakan sebuah parameter dan $a$ adalah suatu konstanta tertentu yang dapat dicari. Tinjau sebuah titik B yang merupakan titik terendah lintasan tersebut. Jarak vertikal O ke B adalah $h$, benda tidak memiliki kecepatan awal saat dilepaskan dari O. (a) Nyatakan $a$ dalam $h$! Tentukan waktu pergerakan benda dari titik O ke B ($t$)! (b) Tinjau dua kasus berikut: (i) Jika lintasan O ke B adalah garis lurus, tentukan waktu pergerakannya ($t$$i$ )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? (ii) Jika lintasan O ke B seperti Gambar 2 (dimana transisi dua garis tegak lurus dianggap halus sehingga tidak ada tumbukan), tentukan waktu pergerakannya ($t$$i$$i$ )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? Setelah mencapai titik B benda akan melanjutkan gerakannya. Tinjau saat benda sudah bergerak dengan jarak tempuh $s$ dari titik B (sekarang ambil acuan $s$ = 0 dan $t$ = 0 di titik B). (c) Tentukan persamaan gerak benda! Tentukan juga jarak tempuhnya sebagai fungsi waktu, $s$($t$)! (d) Jika pada awalnya benda dilepaskan dari posisi $y$ $\neq$ 0 namun tetap pada fungsi lintasan brachistochrone di atas, tentukan waktu untuk mencapai titik B, ($t'$)! Jelaskan makna fisis dari jawaban tersebut. Lintasan brachistochrone dapat dibayangkan dengan meninjau gerakan menggelinding dari sebuah roda. Tinjau titik P yang awalnya berada di posisi terendah dari sebuah roda berjari-jari $R$ yang menggelinding ke sumbu $x$ positif dengan kecepatan konstan $v$, titik tersebut akan memiliki fungsi posisi (berbentuk sikloid) yang serupa dengan kurva parametrik brachistochrone. (e) Ambil posisi awal titik P sebagai pusat koordinat, tuliskan fungsi posisi kurva sikloid tersebut sebagai fungsi waktu, $x$($t$) dan $y$($t$)!  a. Nyatakan $a$ dalam $h$! Tentukan waktu pergerakan benda dari titik O ke B ($t$)! b. Tinjau dua kasus berikut: i. Jika lintasan O ke B adalah garis lurus, tentukan waktu pergerakannya ($t$$i$ )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? (ii) Jika lintasan O ke B seperti Gambar 2 (dimana transisi dua garis tegak lurus dianggap halus sehingga tidak ada tumbukan), tentukan waktu pergerakannya ($t$$i$$i$ )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? Setelah mencapai titik B benda akan melanjutkan gerakannya. Tinjau saat benda sudah bergerak dengan jarak tempuh $s$ dari titik B (sekarang ambil acuan $s$ = 0 dan $t$ = 0 di titik B). c. Tentukan persamaan gerak benda! Tentukan juga jarak tempuhnya sebagai fungsi waktu, $s$($t$)! d. Jika pada awalnya benda dilepaskan dari posisi $y$ $\neq$ 0 namun tetap pada fungsi lintasan brachistochrone di atas, tentukan waktu untuk mencapai titik B, ($t'$)! Jelaskan makna fisis dari jawaban tersebut. Lintasan brachistochrone dapat dibayangkan dengan meninjau gerakan menggelinding dari sebuah roda. Tinjau titik P yang awalnya berada di posisi terendah dari sebuah roda berjari-jari $R$ yang menggelinding ke sumbu $x$ positif dengan kecepatan konstan $v$, titik tersebut akan memiliki fungsi posisi (berbentuk sikloid) yang serupa dengan kurva parametrik brachistochrone. e. Ambil posisi awal titik P sebagai pusat koordinat, tuliskan fungsi posisi kurva sikloid tersebut sebagai fungsi waktu, $x$($t$) dan $y$($t$)!