OSP-2024-04
Brachistochrone
OSP · 2024 · Mekanika
Waktu pergerakan benda dari titik O ke A di bawah pengaruh percepatan gravitasi bumi akan bervariasi terhadap
bentuk lintasan benda tersebut. Terdapat satu lintasan licin yang menyebabkan waktu pergerakan menjadi minimum,
lintasan tersebut bernama brachistochrone. Lintasan ini memiliki fungsi kurva sebagai berikut:
= ( sin ),
= (1 cos ),
dimana merupakan sebuah parameter dan adalah suatu konstanta tertentu yang dapat dicari. Tinjau sebuah titik
B yang merupakan titik terendah lintasan tersebut. Jarak vertikal O ke B adalah , benda tidak memiliki kecepatan awal
saat dilepaskan dari O.
- (a)Nyatakan dalam ! Tentukan waktu pergerakan benda dari titik O ke B ()!
- (b)Tinjau dua kasus berikut:
- (i)Jika lintasan O ke B adalah garis lurus, tentukan waktu pergerakannya ( )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? (ii) Jika lintasan O ke B seperti Gambar 2 (dimana transisi dua garis tegak lurus dianggap halus sehingga tidak ada tumbukan), tentukan waktu pergerakannya ( )! Bandingkan dengan jawaban soal bagian (a), apakah lebih besar atau lebih kecil? Setelah mencapai titik B benda akan melanjutkan gerakannya. Tinjau saat benda sudah bergerak dengan jarak tempuh dari titik B (sekarang ambil acuan = 0 dan = 0 di titik B).
- (c)Tentukan persamaan gerak benda! Tentukan juga jarak tempuhnya sebagai fungsi waktu, ()!
- (d)Jika pada awalnya benda dilepaskan dari posisi 0 namun tetap pada fungsi lintasan brachistochrone di atas, tentukan waktu untuk mencapai titik B, ()! Jelaskan makna fisis dari jawaban tersebut. Lintasan brachistochrone dapat dibayangkan dengan meninjau gerakan menggelinding dari sebuah roda. Tinjau titik P yang awalnya berada di posisi terendah dari sebuah roda berjari-jari yang menggelinding ke sumbu positif dengan kecepatan konstan , titik tersebut akan memiliki fungsi posisi (berbentuk sikloid) yang serupa dengan kurva parametrik brachistochrone.
- (e)Ambil posisi awal titik P sebagai pusat koordinat, tuliskan fungsi posisi kurva sikloid tersebut sebagai fungsi waktu, () dan ()!
Halaman ini menampilkan pernyataan soal. Gunakan Bank Soal untuk memilih soal lain atau buka AI Tutor untuk membahas soal ini.