Sistem Roda di Bidang Miring

Sistem roda terdiri dari dua buah silinder pejal identik yang bermassa $m$ dan berjari-jari $R$ dan memiliki pusat di $C_{1}$ dan $C_{2}$ . Kedua pusat silinder dihubungkan oleh sebuah batang ringan dengan panjang $L$ (massa batang diabaikan). Momen inersia silinder terhadap sumbu putar yang tegak lurus melalui pusatnya adalah $I$ = $m$$R_{2}$ /2 dan terhadap sumbu putar yang sejajar dengan silinder adalah $I$$s$ = $m$$R_{2}$ /4. Kedua silinder dapat berotasi terhadap pusatnya secara saling bebas satu sama lain. Sistem diletakkan pada sebuah bidang miring dengan sudut kemiringan $\beta$ terhadap horizontal, dan kedua silinder berotasi tanpa slip. Tinjau sistem koordinat ($X$, $Y$, $Z$) seperti pada gambar. Bidang $X$$Y$ adalah bidang yang sejajar dengan permukaan bidang miring, dan sumbu $Z$ adalah sumbu yang tegak lurus terhadap permukaan bidang miring. Diketahui besar kecepatan sudut rotasi silinder 1 dan 2 terhadap titik pusat masing-masing adalah $𝜔_{1}$ ($t$) dan $𝜔_{2}$ ($t$), sudut yang dibentuk batang terhadap horizontal adalah $\theta$ dan $\Omega$($t$) = $d$$\theta$/$d$$t$. Gunakan ($X$$O$ , $Y$$O$ ) sebagai titik pusat massa sistem sehingga $V$$O$$x$ = $d$$X$$O$ /$d$$t$ dan $V$$O$$y$ = $d$$Y$$O$ /$d$$t$ adalah kecepatan translasi titik pusat massa sistem. Besar percepatan gravitasi adalah $g$. (a) Tentukan energi kinetik sistem dalam sistem koordinat ($X$, $Y$, $Z$). Nyatakan jawaban Anda dalam $V$$O$$x$ , $V$$O$$y$ , $m$, $L$, $\Omega$, $𝜔_{1}$ , $𝜔_{2}$ , dan $R$. (b) Syarat agar kedua silinder dapat bergerak tanpa slip adalah tiga relasi berikut: (i) $V$$O$$x$ + $p_{1}$ ($𝜔_{1}$ + $𝜔_{2}$ ) = 0, (ii) $V$$O$$y$ + $p_{2}$ ($𝜔_{1}$ + $𝜔_{2}$ ) = 0, (iii) $\Omega$ + $p_{3}$ ($𝜔_{1}$ $-$ $𝜔_{2}$ ) = 0. Tentukan $p_{1}$ , $p_{2}$ , dan $p_{3}$ . Nyatakan jawaban Anda dalam $L$, $R$, dan $\theta$. (c) Jika pada awalnya, batang berada dalam keadaan horizontal dan silinder 1 berputar dengan kecepatan sudut awal $𝜔_{1}$ (0) = $𝜔_{10}$ dan $\Omega$(0) = $\Omega_{0}$ . Tentukan kecepatan sudut $𝜔_{1}$ dan $𝜔_{2}$ sebagai fungsi dari waktu. Nyatakan jawaban Anda dalam $𝜔_{10}$, $\Omega_{0}$ , $L$, $R$, $g$, $\beta$ dan $t$. Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj Soal OSN Fisika SMA Semifinal 2025 Naskah soal ini diketik ulang oleh Ahmad Basyir Najwan. Terdapat beberapa modifikasi penulisan dari naskah asli namun tetap mempertahankan isinya.  a. Tentukan energi kinetik sistem dalam sistem koordinat ($X$, $Y$, $Z$). Nyatakan jawaban Anda dalam $V$$O$$x$ , $V$$O$$y$ , $m$, $L$, $\Omega$, $𝜔_{1}$ , $𝜔_{2}$ , dan $R$. b. Syarat agar kedua silinder dapat bergerak tanpa slip adalah tiga relasi berikut: (i) $V$$O$$x$ + $p_{1}$ ($𝜔_{1}$ + $𝜔_{2}$ ) = 0, (ii) $V$$O$$y$ + $p_{2}$ ($𝜔_{1}$ + $𝜔_{2}$ ) = 0, (iii) $\Omega$ + $p_{3}$ ($𝜔_{1}$ $-$ $𝜔_{2}$ ) = 0. Tentukan $p_{1}$ , $p_{2}$ , dan $p_{3}$ . Nyatakan jawaban Anda dalam $L$, $R$, dan $\theta$. c. Jika pada awalnya, batang berada dalam keadaan horizontal dan silinder 1 berputar dengan kecepatan sudut awal $𝜔_{1}$ (0) = $𝜔_{10}$ dan $\Omega$(0) = $\Omega_{0}$ . Tentukan kecepatan sudut $𝜔_{1}$ dan $𝜔_{2}$ sebagai fungsi dari waktu. Nyatakan jawaban Anda dalam $𝜔_{10}$, $\Omega_{0}$ , $L$, $R$, $g$, $\beta$ dan $t$. Join Grup WA Komunitas melalui link berikut https://chat.whatsapp.com/LKD157V4Tt4JOsNMEWBaPj Soal OSN Fisika SMA Semifinal 2025 Naskah soal ini diketik ulang oleh Ahmad Basyir Najwan. Terdapat beberapa modifikasi penulisan dari naskah asli namun tetap mempertahankan isinya.